椭圆的简单几何性质(省级优质课一等奖)

一、复习回顾：1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程：3.椭圆中a,b,c的关系:当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay|)|2(2||||2121FFaaMFMFa2=b2+c2)0(ba，[1]椭圆标准方程)0(12222babyax所表示的椭圆的范围是什么？[2]椭圆有几条对称轴？几个对称中心？[3]上述方程表示的椭圆有几个顶点？顶点坐标是什么？[6]如何通过椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度？[4]2a和2b表示什么？a和b又表示什么？[5]椭圆离心率是如何定义的？范围是什么？二、导学导思：-a≤x≤a,-b≤y≤b∴椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形中，如图所示：oyB2B1A1A2F1F2cab三、新课讲解：1、椭圆的范围：)0(12222babyax,122ax得：122by由x2、椭圆的对称性：)0(12222babyax从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于成中心对称。)0(12222babyaxyx原点坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于2a和2b。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)3、椭圆的顶点：)0(12222babyax令x=0，得y=？说明椭圆与y轴的交点为（），令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点为（）。0,±b±a,0*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1004、椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0e1①e越接近1，椭圆就越扁；②e越接近0，椭圆就越圆。[3]e与a,b的关系:222221ababaaceac用e表示，即思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？(e用来刻画椭圆扁平程度的量)标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab-a≤x≤a,-b≤y≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea知识归纳a2=b2+c2)0(ba，标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2)0(baa2=b2+c2)0(ba)5,0(),5,0(21FF例题1:求椭圆9x2+4y2=36的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:)3,0(),3,0(),0,2(),0,2(2121BBAA椭圆的短轴长是:2a=62b=435ace解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：2、确定焦点的位置和长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程19422yx四、例题讲解：549,2,3cba练习:求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程1452222yx31625,4,5cba椭圆的长轴长是:离心率:6.053ace焦点坐标是:)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是:)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA椭圆的短轴长是:2a=102b=8例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；22194xy解：⑴方法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以椭圆的标准方程为方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为22194xy例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；（2）长轴的长等于20，离心率等于3/5。(2)由已知得，解：3220,,5caea10,6,ac22210664.b由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为：222211.1006410064xyyx或练习：书本48页第1、2、3题标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2)0(ba，小结小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。