《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第八章 立体几何初步 第六节

考纲考向分析核心要点突破第六节空间向量的应用考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.空间向量及其运算.2.证明平行与垂直.1.空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算，利用空间向量求空间距离，考查用向用向量方法证明有关直线和平面的位置关系，求线段长度，点到面的距离及求异面直线的夹角、斜线与平考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测3.利用空间向量求角.2.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.量方法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小.面所成的角、二面角等是高考热点.预测高考仍将以空间几何体为载体，考查空间向量的应用.考纲考向分析核心要点突破知识点一空间向量的有关概念及定理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有_____和_____的量叫做空间向量，其大小叫做向量的或___单位向量长度或模为__的向量大小方向1长度模考纲考向分析核心要点突破零向量______的向量相等向量方向_____且_______的向量相反向量方向_____且_______的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线________或_____，则称这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a∥b共面向量平行于_________的向量叫共面向量模为0相同模相等互相平行重合同一平面相同模相等考纲考向分析核心要点突破2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝__________.其中，{a，b，c}叫做空间的一个_____.xa＋yb＋zc基底考纲考向分析核心要点突破知识点二空间向量的数量积及坐标运算1.空间向量的数量积(1)空间向量a，b的数量积a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉.(2)空间向量a，b的夹角〈a，b〉的取值范围是[0，π].其中当__________时，a和b同向；当___________时，a和b反向；当___________时，a⊥b.(3)空间向量数量积的性质①|a|＝____；②a⊥b⇔_______；③cos〈a，b〉＝________________.〈a，b〉＝0〈a，b〉＝πa·aa·b|a|·|b|(a≠0，b≠0)〈a，b〉＝π2a·b=0考纲考向分析核心要点突破(4)空间向量数量积的运算律①交换律：________；②分配律：_________________；③结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(λ∈R).a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·c考纲考向分析核心要点突破2.向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝______________________向量差a－b＝_____________________数量积a·b＝______________共线a∥b＝_____________________________垂直a⊥b⇔__________________夹角公式cos〈a，b〉＝_______________________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈Ra1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23考纲考向分析核心要点突破【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)一种方法：用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：①适当的选取基底{a，b，c}；②用a，b，c表示相关向量；③通过运算完成证明或计算问题.(2)三种对称：①关于坐标平面对称的三种情况考纲考向分析核心要点突破②关于坐标轴对称的三种情况③P(x，y，z)――→关于原点对称P7(－x，－y，－z).考纲考向分析核心要点突破2.理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离公式、夹角公式.利用空间向量的坐标运算可将立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或三点共线，可以转化为证a∥b(b≠0)⇔a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b⇔a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cosθ＝a·b|a||b|即可.考纲考向分析核心要点突破方法1空间向量的运算用向量法或坐标法解决几何问题时，先用向量(或坐标)表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量(或坐标)的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.考纲考向分析核心要点突破【例1】(2014·北京海淀模拟)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为________.[解题指导](1)已知：空间四边形OABC，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°.(2)分析：本题主要考查利用向量法求两条异面直线所成的角，解题的关键是选取合适的基底，并把相关的向量用基底表示出来.考纲考向分析核心要点突破解析∵BC→＝AC→－AB→，∴OA→·BC→＝OA→·(AC→－AB→)＝OA→·AC→AC→－OA→·AB→＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162.∴cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225.故OA→与BC→夹角的余弦值为3－225，即直线OA与BC所成角的余弦值为3－225.答案3－225考纲考向分析核心要点突破[点评]利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.考纲考向分析核心要点突破方法2利用空间向量定理证明平行或垂直问题(1)用向量证平行的方法①线线平行：证明两直线的方向向量共线.②线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；b.证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.③面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量；b.转化为线面平行、线线平行问题.考纲考向分析核心要点突破(2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.提醒：用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.考纲考向分析核心要点突破【例2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).考纲考向分析核心要点突破[解题指导]对于(1)只要证明向量EG→可由向量EF→和EH→表示即可，对于(2)只要证明BD平行于平面EFGH内的一条直线即可，对于(3)由于四边形EFGH为平行四边形，所以M为EG与FH的中点.于是向量OM→可由向量OG→和OE→表示，再将OG→与OE→用OC→，OD→和OA→，OB→表示.证明(1)连接BG，则EG→＝EB→＋EG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝BF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.考纲考向分析核心要点突破(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.考纲考向分析核心要点突破由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→，所以EH→＝FG→，EH綉FG，所以EG，FH交于一点M且被M平分.故OM→＝12(OE→＋OG→)＝12OE→＋12OG→＝1212（OA→＋OB→）＋1212（OC→＋OD→）＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).考纲考向分析核心要点突破[点评]在求一个向量由其他向量表示的时候，通常利用向量的三角形法则，平行四边形法则和共线向量特点.把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解.