7.3刚体定轴转动的角动量转动惯量

上页下页结束返回第七章刚体力学§7.3刚体定轴转动的角动量·转动惯量§7.3.1刚体定轴转动对轴上一点的角动量§7.3.2刚体对一定转轴的转动惯量§7.3.3刚体定轴转动的角动量定理和转动定理§7.3.4刚体的重心§7.3.5典型例子上页下页结束返回第七章刚体力学§7.3刚体定轴转动的角动量·转动惯量§7.3.1刚体定轴转动对轴上一点的角动量1.转轴为对称轴zm1m2Or1r22r1rL1L2L如图,对O点k1111vmrL2222vmrL1111vmrL2222vmrL因m1=m2=mkLLcoscos222111vmrvmrL22mrrrr21rvv21故总角动量上页下页结束返回第七章刚体力学2.转轴为非对称轴zm1m2O212r1rL1L2Lk如图,对O点同样有1111vmrL2222vmrL1111vmrL2222vmrL21LLL总角动量与转轴成角.刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之成一定夹角.上页下页结束返回第七章刚体力学§7.3.2刚体对一定转轴的转动惯量iiiivmrL质点系对点的角动量设刚体绕Oz轴转动，刚体角动量在z轴的投影iizzLLiiirm)(2ziizrv22rmIiz刚体对z轴转动惯量刚体对z轴角动量zzzIL转动惯量是转动惯性的量度.22MLmkg单位：1.转动惯量上页下页结束返回第七章刚体力学二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒上页下页结束返回第七章刚体力学质量连续分布的刚体VmSmlmmrJddddddd2体面线其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度.转轴的位置;质量分布.总质量；转动惯量的决定因素：上页下页结束返回第七章刚体力学转动惯量的计算若质量连续分布2Irdm=ò2iiimrDåI＝若质量离散分布ⅰ）如果一个刚体是由几部分简单形体所组成，则可先求出各简单形体对指定轴的转动惯量，然后将它们相加，就得到该刚体的转动惯量。ⅱ）求转动惯量时，质量元应选取得使质元中每一点距转轴的距离相等，或选取的质量元，可利用已知形状刚体的转动惯量来求。上页下页结束返回第七章刚体力学[例1]求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量.[解]2421π21mRhRxyzrdr盘由许多环组成mrIdd2mrId2rhrrdπ22Rrrh03dπ2上页下页结束返回第七章刚体力学2.几种典型形状刚体的转动惯量圆筒)(212221RRmI圆环I=mR2ωRmO´O圆柱221mRILRωR2R12121mlI细圆棒l上页下页结束返回第七章刚体力学ωR圆球252mRI球壳ωR232mRI3.回转半径任何转动惯量均有I=mk2k称为回转半径Rk52圆球Rk21圆柱质量相同的刚体，I，k上页下页结束返回第七章刚体力学(1)平行轴定理ABCdxmiiiiiiCmI2对CA轴平行C轴（质心轴）对AiiAmI2由图iiiiddcos2222iiAmI2)cos2(22iiiiddmdmdmmiiiiii2cos22iiiiixmmcos故：2mdIIcA——平行轴定理0cmx4.反映转动惯量性质的定理上页下页结束返回第七章刚体力学(2)垂直轴定理（正交轴定理）miixyzyixiOyxzIII(3)可叠加原理若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加.上页下页结束返回第七章刚体力学§7.3.3刚体定轴转动的角动量定理和转动定理zzzizIttLMddddiizzLLΔzziiiIrm)(2刚体对定轴的角动量角动量定理微分形式0dzzzzzIItM角动量定理积分形式上页下页结束返回第七章刚体力学刚体定轴转动I=常量zzizIM刚体定轴转动的转动定理说明：地位相当与amFIM)1(式中各量对同一转轴)2(.00,,3转动第一定律恒量，，若则常量）（MMIIM上页下页结束返回第七章刚体力学验证刚体定轴转动定理的演示实验上页下页结束返回第七章刚体力学§7.3.4刚体的重心重心——刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那一点.如图,被悬挂刚体处于静止,C为重心,因C不动,可视为转轴.因为刚体静止,所以诸体元重力对C轴合力矩为零.xzCiWyABDWCCABDW0)(ciixxW上页下页结束返回第七章刚体力学WzWziicgmWii则重心坐标与质心坐标同，但概念不同.质心是质量中心，其运动服从质心运动定理.重心是重力合力作用线通过的那一点.WxWxiicWyWyiic若取上页下页结束返回第七章刚体力学注意以下几点：1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿定律建立方程。解题步骤1.确定研究对象；2.受力分析；3.选择参考系与坐标系；4.列运动方程；5.解方程；6.必要时进行讨论。上页下页结束返回第七章刚体力学§7.3.5典型例子[例题2]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.297mRIR32图(a)上页下页结束返回第七章刚体力学（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]需拉力是多少？TFW图(b)上页下页结束返回第七章刚体力学xyONFTFW图(a)[解]（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图(a)所示.建立直角坐标系Oxy，camWFFNT向x及y轴投影得根据转动定理xcxmaFNzmRRmgRF2T9732ycymaFmgFNT0xcaRazRazcy32起动时根据质心运动定理上页下页结束返回第七章刚体力学即起动瞬时绳对闸板的拉力为，质点O对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.mg9067TFW图(b)mgFy9029NmgF9067T0NxF(2)用表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：TFmgF1011T比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小.mamgFT上页下页结束返回第七章刚体力学[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0，并测得m自静止开始下落h高度的时间为t,求待测物体的转动惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变.hII0rm上页下页结束返回第七章刚体力学[解]分别以质点m和转动系统I+I0作为研究对象，受力分析如图.xyONF1TF2TFWmaFmg2T)(01TIIrF2T1TFFra221gth022)12(IhgtmrI