7.3可控性与可观测性分析

1线性定常系统的可控性与可观测性分析线性连续系统的可控性线性定常连续系统的可观测性对偶原理单输入/单输出系统状态空间描述的标准形基于系统标准型的可控可观判据2线性连续系统的可控性可控性定义可控性的判断定常系统状态可控性的代数判据用传递函数矩阵表达的状态可控性条件输出可控性3考虑线性连续时间系统其中，（单输入），且初始条件为。如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由上式描述的系统的状态在时为状态可控的。如果对所有时刻都是可控的，则称为一致可控的。如果每一个状态都可控，则称该系统为状态(完全)可控的。可控性定义0xt0xt()()()tAtButxx11(),(),,nnnnxtRutRARBR)0()(0xtxt01ttt0tt0xt4定常系统状态可控性的代数判据状态可控性的代数判据对线性连续时间系统，当且仅当n×n维矩阵满秩，即1[]ncrankPrankBABABn时，该系统状态完全可控。()()()tAtButxx1[]ncPBABAB5将写为A的有限项的形式，并代入上式得：定常系统状态可控性的代数判据证明：下面推导状态可控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即。由上一节的内容可知，该线性连续时间系统的解为：00t()()(0)()tAtAtoxtexeBud利用状态可控性的定义，可得dBuexetxtotAAt)()0(0)(111)(1或10)()0(tAdBuexAe10)(nkkkAAe1001)()()0(nktkkduaBAx6定常系统状态可控性的代数判据记，则10)()(tkkdua110110][)0(nnnkkkBAABBBAx如果系统是状态可控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足上式。这就要求n×n维矩阵的秩为n。BABAABBPnc121001)()()0(nktkkduaBAx7定常系统状态可控性的代数判据上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为BuAxx式中，，那么可以证明，状态可控性的条件为n×nr维矩阵rnnnrnRBRARtuRtx,,)(,)(的秩为n，或者说其中的n个列向量是线性无关的。通常称该矩阵为可控性矩阵。21ncPBABABAB8定常系统状态可控性例1【例】考虑由下式确定的系统：【解】由于00011][detdetABBQuxxxx0110112121即Q为奇异，所以该系统是状态不可控的。【例】考虑由下式确定的系统：uxxxx1012112121【解】由于01110][detdetABBQ即Q为非奇异，因此系统是状态可控的。9传递函数矩阵表达的状态可控性条件状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可控。【例】比如下列传递函数：)1)(5.2(5.2)()(ssssUsX10输出可控性考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统ABCDxxuyxu,,,,,,nrmnnnrmnmrxRuRyRARBRCRDR其中如果能找到一个无约束的控制向量,在有限的时间间隔内，使任一给定的初始输出转移到任一最终输出,那么称由上式所描述的系统为输出可控的。系统输出可控的充要条件为：当且仅当m×(n+1)r维输出可控性矩阵()ut01ttt0()yt1()yt21[]nQCBCABCABCABD的秩为m时，由上式所描述的系统为输出可控的。注意，在输出方程中存在D项，对确定输出可控性是有帮助的。11线性定常连续系统的可观测性可观性定义可观性的判断定常系统状态可观性的代数判据用传递函数矩阵表达的可观测性条件12如果系统的某一个状态，可通过在有限时间间隔内，由观测值确定，则称状态为在时刻是可观测的。若状态在所有时刻都是可观测的，则称该状态为一致可观测的。如果系统的状态空间中每一个状态都是可观测的，则称该系统是状态完全可观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设。可观性定义0()xt0t考虑零输入时的状态空间表达式ACxxyx式中nmnnmnRCRARyRx,,,01ttt0()xt()yt00t0()xt13为何只需考虑零输入系统(u=0)？原因：若采用如下状态空间表达式ABCDxxuyxu()()(0)()tAtAtoteeBdxxu则从而()()(0)()tAtAtotCeCeBdDyxuu由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被测量值y(t)中消去。因此，为研究可观测性的充要条件，只考虑零输入系统就可以了。14定常系统状态可观测性的代数判据考虑以下线性定常系统ACxxyx易知，其输出向量为()(0)AttCeyx将写为A的有限项的形式，即Ate10)(nkkkAtAte因而10()()(0)nkkkttCAyx或1011()()(0)()(0)()(0)nnttCtCAtCAyxxx显然，如果系统是可观测的，那么在时间间隔内，给定输出y(t)，就可由上式唯一地确定出x(0)。可观性判据（充要条件）当且仅当n×nm维可观测性矩阵01ttt][1TnTTTTTCACACR）（的秩为n，即时，上面线性定常系统是可观测的。nrankRT也见书(7-44)式15定常系统状态可观测性例1【例】试判断由下式所描述的系统的可控性和可观测性。21212101101211xxyuxxxx【解】由于可控性矩阵1110][ABBQ秩为2，即，故该系统是状态可控的。由于输出可控性矩阵nrankQ210]['CABCBQ的秩为1，即，故该系统是输出可控的。由于可观测性矩阵mQrank11011][TTTTCACR的秩为2，，故此系统是可观测的。nrankRT2这里D=0.16用传递函数矩阵表达的可观测性条件可观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。可观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不可观测了。当且仅当系统是状态可控和可观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。17定常系统状态可观测性例2【例】证明下列系统是不可观测的。xAxBuyCx1230100,001,0,45161161xxxABCx【解】方法一由于可观测性矩阵111575664])([2TTTTTTCACACR其行列式值为0，故该系统是不可观测的。18(了解)方法二:在该系统的传递函数中存在相约因子。由于和之间的传递函数为)3)(2)(1(1)()(1ssssUsX1()Xs()Us又和之间的传递函数为)4)(1()()(1sssXsY)3)(2)(1()4)(1()()(ssssssUsY显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。则该系统是不可观测的，一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。故Y(s)与U(s)之间的传递函数为()Ys1()Xs19对偶原理下面介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理，该原理揭示了可控性和可观测性之间的关系。考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：xAxBuyCxnmrnnnmrnRCRBRARyRuRx,,,,,以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：TTTzAzCvnBznrTmnTnnTrmnRBRCRARnRvRz,,,,,对偶原理当且仅当系统S1状态可观测（状态可控）时，系统S2才是状态可控（状态可观测）的。20对偶原理证明对于系统S1：状态可控的充要条件是n×nr维可控性矩阵的秩为n。状态可观测的充要条件是n×nm维可观测性矩阵的秩为n。对于系统S2：状态可控的充要条件是n×nm维可控性矩阵的秩为n。状态可观测的充要条件是n×nr维可观测性矩阵的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断。简单地说，对偶性有如下关系：][1BAABBn])([1TnTTTTCACAC])([1TnTTTTCACAC][1BAABBnTTTBCCBAA,,21单输入/单输出系统状态空间描述的标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示1011111()()nnnnnnnnYsbsbsbsbUssasasa－可控标准形(书P174,7-8)1122111210100000100000101nnnnnnnxxxxuxxaaaaxx1211110[]nnonnoonxxybabbabbabbux22可观测标准形1122111111000100001nnnonnononnaxxbabxxbabaubabxxa121[0001]onnxxybuxx设单输入/单输出系统的传递函数如下所示1011111()()nnnnnnnnYsbsbsbsbUssasasa－可观测标准形(书p176,7-12)23对角线标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示，考虑分母多项式只含相异根的情况：1011111()()nnnnnnnnYsbsbsbsbUssasasa－对角线标准形11112()()()()()nnonnnYsbsbsbsbUsspspspnnopscpscpscb221111122201110nnnxpxxpxuxpx1212[]nonxxycccbux24Jordan标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示，考虑分母多项式含有重根的情况：)())(()()()(54311110nnnnnpspspspsbsbsbsbsUsYnnpscpscpscpscpscbsUsY442123110)()()()()(13Jordan标准形(书p175,上)111212313444100000100000100010001nnnxpxxpxxpxxpxxpx1212[]nonxx