2017届高三数学文理通用一轮复习课件：9.6 双曲线

9.6双曲线第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养考情概览-2-考纲要求命题角度分析1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解双曲线的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.了解双曲线的简单应用.3.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.通过近几年的高考试卷分析可知,考查与双曲线相关的知识非常频繁.双曲线常在选择题或填空题中出现,考查方向有:求双曲线的方程,求双曲线的离心率,求双曲线的渐近线等,有时会与其他圆锥曲线综合考查.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-3-知识梳理双击自测1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的________________________________的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的,两定点间的距离叫做双曲线的.注:设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a0,c0:(1)当ac时,则集合P是;(2)当a=c时,则集合P是;(3)当ac时,则集合P是.距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)焦点焦距双曲线两条射线空集第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-4-知识梳理双击自测2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-5-知识梳理双击自测标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质顶点顶点坐标:A1,A2顶点坐标:A1,A2渐近线y=y=离心率e=𝑐𝑎,e∈(1,+∞),其中c=𝑎2+𝑏2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫做双曲线的,它的长|B1B2|=;叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)±𝑏𝑎x±𝑎𝑏x实轴2a虚轴2bab第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-6-知识梳理双击自测234151.下列结论正确的画“”,错误的画“×”.(1)平面内到两点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线.()(2)关于x,y的方程𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)与双曲线𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(其中mn0)共渐近线的双曲线方程可设为𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=λ(λ≠0).()(4)等轴双曲线的离心率等于2,且渐近线互相垂直.()(5)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)与𝑥2𝑏2−𝑦2𝑎2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1𝑒12+1𝑒22=1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).()××第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-7-知识梳理双击自测234152.设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦29=1(a0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1C解析:由渐近线方程可知𝑏𝑎=32,则a=23b=23×3=2.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-8-知识梳理双击自测234153.若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12xD.y=±22xB解析:由离心率为3,可知c=3a,∴b=2a.∴渐近线方程为y=±𝑏𝑎x=±2x,故选B.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-9-知识梳理双击自测234154.(2015浙江高考)双曲线𝑥22-y2=1的焦距是,渐近线方程是.23y=±22x解析:由双曲线的方程𝑥22-y2=1可知,a=2,b=1.所以c=𝑎2+𝑏2=3.故双曲线的焦距为2c=23;双曲线的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x=±12x,即y=±22x.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-10-知识梳理双击自测234155.如果双曲线𝑥29−𝑦216=1上一点P到它的一个焦点的距离等于10,那么点P到另一个焦点的距离等于.4或16解析:设点P到另一个焦点的距离等于d,则依双曲线的定义可得|d-10|=6,解得d=4或16.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-11-考点一考点二考点三双曲线的定义及其应用1.(2015福建高考)若双曲线E:的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3𝑥29−𝑦216=1B解析:由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=6.因为|PF1|=3,所以|PF2|=9.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-12-考点一考点二考点三2.已知F为双曲线的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.C:𝑥29−𝑦216=144解析:如图所示,设双曲线右焦点为F1,则F1与A重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,故△PQF周长为28+4b=44.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-13-考点一考点二考点三方法总结1.将双曲线的定义理解到位是解题的关键.应注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是双曲线的两支,还是双曲线的一支.若是一支,是哪一支,以确保解答的正确性.2.若涉及双曲线上的点,在解题时首先要想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-14-考点一考点二考点三双曲线的标准方程例题根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线𝑥29−𝑦216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23);(2)与双曲线𝑥216−𝑦24=1有公共焦点,且过点(32,2).第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-15-考点一考点二考点三解:(1)设所求双曲线方程为𝑥29−𝑦216=λ(λ≠0),将点(-3,23)代入得λ=14,则所求双曲线方程为𝑥29−𝑦216=14,即𝑥294−𝑦24=1.(2)设双曲线方程为𝑥216-𝑘−𝑦24+𝑘=1(-4k16),将点(32,2)代入得k=4(k=-14舍去).则所求双曲线方程为𝑥212−𝑦28=1.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-16-考点一考点二考点三方法总结1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.2.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可先利用有公共渐近线的双曲线的方程为,再由条件求出λ的值即可.𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0)第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-17-考点一考点二考点三对点练习1(2015广东高考)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.𝑥24−𝑦23=1B.𝑥29−𝑦216=1C.𝑥216−𝑦29=1D.𝑥23−𝑦24=1C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=𝑐𝑎=54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为𝑥216−𝑦29=1.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-18-考点一考点二考点三对点练习2已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)和椭圆𝑥216+𝑦29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的标准方程为.𝑥24−𝑦23=1解析:由题意知双曲线的焦点为(-7,0),(7,0),即c=7,又双曲线的离心率为e=𝑐𝑎=274,所以a=2,则b2=3,故双曲线的方程为𝑥24−𝑦23=1.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-19-考点一考点二考点三双曲线的几何性质考情分析双曲线的几何性质在高考中考查比较频繁,命题方向主要集中在双曲线的离心率、渐近线等问题上,并且常与向量、不等式等知识相互交汇,对考生的综合分析能力有较高要求.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-20-考点一考点二考点三类型一离心率问题例1(2015课标全国高考Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2D第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-21-考点一考点二考点三解析:设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),点M在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M向x轴作垂线,垂足为N,则∠MBN=60°.∵AB=BM=2a,∴MN=2asin60°=3a,BN=2acos60°=a.∴点M坐标为(2a,3a),代入双曲线方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,整理,得𝑎2𝑏2=1,即𝑏2𝑎2=1.∴e2=1+𝑏2𝑎2=2,∴e=2.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点类型二渐近线问题例2(2014北京高考)设双曲线C经过点(2,2),且与具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.-22-考点一考点二考点三𝑦24-x2=1𝑥23−𝑦212=1y=±2x解析:双曲线𝑦24-x2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线𝑦24-x2=1有共同渐近线的方程为𝑦24-x2=λ,又(2,2)在双曲线上,故224-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为𝑦24-x2=-3,即𝑥23−𝑦212=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-23-考点一考点二考点三类型三双曲线几何性质的综合应用例3(2015重庆高考)设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+𝑎2+𝑏2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)A第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-24-考点一考点二考点三解析:设双曲线半焦距为c,则F(c,0),A(a,0),不妨设点B在点F的上方,点C在点F的下方,则B𝑐,𝑏2𝑎,C𝑐,-𝑏2𝑎.由于kAC=0--𝑏2𝑎𝑎-𝑐=𝑏2𝑎(𝑎-𝑐),且AC⊥BD,则kBD=-𝑎(𝑎-𝑐)𝑏2,于是直线BD的方程为y-𝑏2𝑎=-𝑎(𝑎-𝑐)𝑏2(x-c),由双曲线的对称性知AC的垂线BD与AB的垂线CD关于x轴对称,所以两垂线的交点D在x轴上,于是xD=-𝑏2𝑎×-𝑏2𝑎(𝑎-𝑐)+c=𝑏4𝑎2(𝑎-𝑐)+c,从而D到直线BC的距离为c-xD=-𝑏4𝑎2(𝑎-𝑐),第九章9.6双曲线考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-25-考点一考点二考点三由已知得-𝑏4𝑎2(𝑎-𝑐)a+𝑎2+𝑏2,即-𝑏4𝑎2(𝑎-𝑐)a+