9.2 二重积分的计算

§9.2二重积分的计算一二重积分在直角坐标系中的计算二二重积分在极坐标系中的计算三二重积分的应用举例四二重积分的换元公式一二重积分在直角坐标系中的计算1积分区域D为x型区域)()(,21xyxbxaoxyba)(1xy)(2xyDoyxzab),(yxfzDdyxf),(xbadxxA)()()(21),()(xxdyyxfxA)(1x)(2xdxdyyxfbaxx]),([)()(21baxxdyyxfdx)()(21),(（先后的二次积分）yx)(xA2积分区域D为y型区域)()(,21yxydycoxycd)(2yx)(1yxDdyxf),(dcyydxyxfdy)()(21),(（先后的二次积分）xy例1求,)(Ddxy其中D是由曲线21xy与直线xy及y轴所围成的闭区域。Ddxy)(解21220)(xxdyxydx2202)121(dxxx2202321(3142）x312oxy22例2求,Dxyd其中D是由曲线xy2与直线2xy所围成的闭区域。oxy)2,4()1,1(21Dxyd解2212yyxdxydy21523)44(21dyyyyy845oxy)2,4()1,1(Dxyd4xxydyxdx10xxydyxdx24104132)45(21dxxxx845例3交换下列二次积分的顺序（1）xxdyyxfdx220),(（2）xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2解（1）oxy242xxdyyxfdx220),(yydxyxfdy220),(2242),(ydxyxfdy（2）oxy211xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2yydxyxfdy211102),(xy222xxy例4计算.sin110ydxxxdy解110sinydxxxdyxdydxxx010sin10sinxdx1cos1oxy11二二重积分在极坐标系中的计算点P的极坐标),(ox与直角坐标),(yx之间的关系式ycosxsiny（极坐标变换公式）PDdyxf),()sin,cos(fDdd（先后的二次积分）例5将Ddyxf),(化为极坐标系下的二次积分，其中.11:2xyxDoxy解:D,201sincos1Ddyxf),(1sincos120)sin,cos(dfd例6求,)(Ddyx其中,22:22yxyxD.xy解oxy,434:Dxy)sin(cos20Ddyx)()sin(cos202434)sin(cosdd4343)sin)(cossin(cos38d4344)sin(cos3238例7求,22Ddyx其中,2:22xyxD.xy解oxy,42:Dcos20Ddyx22cos20242dd423cos38d422sin)sin1(38d423)sin31(sin38921016三二重积分的应用举例例8求区域,1:22yxD,222xyx0y的面积。oxy解DdA1030ddcos2023dd6232cos2d623)2cos1(d6436433例9求两个圆柱面)0(,222222RRzxRyx所围成的立体的体积。oxyz22xRzD解,0,0,:222yxRyxD记则dxRVD2282200228xRRdydxxRRdxxR02283316R例10设)(xf可微，且,1)0(,0)0(ff求dyxftDt)(1lim2230其中.:222tyxD解dyxfD)(22tdfd020)(tdf0)(2dyxftDt)(1lim2230300)(lim2tdftt203)(lim2tttftttft)(lim320tftft)0()(lim320)0(32f32例11计算积分.02dxex解dxedxebxbx0022lim记,)(02dxebIbx则dxedxebIbxbx00222)(dyedxebybx0022Dyxdxdye)(22其中.0,0:bybxDoxybbb2b2记,0,0,:2221yxbyxD,0,0,2:2222yxbyxD则22222122)()()(DyxDyxDyxdxdyedxdyedxdye200)(2122bDyxdeddxdye)1(42be2020)(2222bDyxdeddxdye)1(422be1D2D2222012)(12bbxbedxebIe22bdxedxebxbx0022lim2四二重积分的换元公式设),(),(vuyvux，则Ddxdyyxf),()),(),,((vuvufdudvuvD),(),(vuyx其中vyuyvxuxvuyx),(),(（Jacobi行列式）如：cosxsinyyyxxvuyx),(),(cossinsincosDdxdyyxf),()sin,cos(fDdd