9.2 地理系统动态的控制论描述

传递函数法状态空间法第2节地理系统动态的控制论描述地理学的研究对象，是各种各样的地理系统。对于每一个具体的地理系统来说，地理学家所关心的问题是，其动态演化过程是怎样进行的？演化的机制是什么？它的未来状态是否可以预测？行为是否可以控制？这些问题的回答都依赖于人们对地理系统的认识程度，而对地理系统动态过程的描述就是人们对其认识程度的基本反映。一、传递函数法基本思路：首先将系统抽象为由若干个串联、并联及反馈环节构成的框图模型，其中的每个环节都代表一个具体的实际过程；然后再用传递函数分别描述各个串联、并联及反馈环节；最后通过各个环节的传递函数的合成运算，求得描述整个系统动态过程的传递函数模型。（一）框图模型对于一个具体的地理系统，为了研究它的动态过程与控制行为，可以撇开其中与控制过程无关的具体内容，把整个系统划分为若干个环节，其中每一个环节都代表一个具体的实际过程，然后再将每一个环节按照其相应过程的输入—输出关系联接起来，这样就得到了描述该地理系统动态过程的框图模型。（二）传递函数①定义：所谓某一个环节的传递函数，是指在零初始条件下，该环节输出量（或称响应函数）的拉普拉斯（Laplace）变换Y(s)与输入量（或称驱动函数）的拉普拉斯变换X(s)之比，即其框图模型为：)()()(sXsYsW②例：假设描述某系统输入—输出关系的微分方程为：Y代表输出，X代表输入。对上式两端作拉普拉斯变换得：mmmmmmnnnnndtXdbdtXdbdtdXbXbYadtdYadtYdadtYd1111001111)()()()(11100111sXsbsbsbbsYasasasmmmmnnn由上式容易得到系统的传递函数：其框图模型如下：01111110)()()(asasassbsbsbbsXsYsWnnnmmmm图9.2.3传递函数：拉普拉斯变换比（9.2.3）③函数的合成运算▲串联系统1）当一个系统的动态过程由两个输入-输出环节构成时：当传递函数为，则上述框图就被简化为：)(sW)()()()()()()()()(21122313sWsWsXsXsXsXsXsXsW（9.2.4）2）n个输入—输出环节构成的串联系统，其传递函数等于各个环节传递函数的乘积，即niinsWsWsWsWsW121)()()()()(（9.2.5）▲并联系统指流入系统的输入分别进入了不同的输入—输出环节，由各个环节的分别作用，共同决定系统的输出。1）框图记传递函数为，则上述框图就被简化为：系统的传递函数为：)(sW)()()(324sXsXsX)()()()(1211sXsWsXsW)()()(121sXsWsW)()()()()(2114sWsWsXsXsW（9.2.6）2）由n个输入—输出环节构成的并联系统，其传递函数等于各个环节传递函数之和，即：niinsWsWsWsWsW121)()()()()(（9.2.7）▲反馈系统即把系统的输出再引向输入端，从而使系统的输入发生改变的一类控制系统，即如下框图模型所示的系统：简化图：1）正反馈因为传递函数为：)()()()()()()()()(12sWsesCsWsCsXsXsRse)()]()(1[)()()()()(211sesWsWsWsesRsCsW)()(1)(211sWsWsW（9.2.8）2）负反馈因为传递函数为：)()()()()()()()()(12sWsesCsWsCsXsXsRse)()]()(1[)()()()()(211sesWsWsWsesRsCsW)()(1)(211sWsWsW（9.2.9）二、状态空间法状态空间：指状态变量构成的欧氏空间，它包含了描述系统的状态变量的一个最小集合。状态空间有时也称为相空间，系统的状态随时间的变化在状态空间中形成的运动轨迹称为相轨线。描述系统的动态行为，一般需要两组方程:状态方程，即输入对状态变量的作用关系式；输出方程，也称为观察方程，即输出和状态变量的关系式。一个系统的状态空间描述表示为：式中，X为状态变量向量，U为输入（或控制）变量向量，Y为输出变量向量。),()(),(ddUXGtYUXFtX（9.2.10）线性系统的状态空间描述表示为：式中，为状态矩阵，为输入矩阵，输出矩阵，为输入矩阵。UtDXtCYUtBXtAX)()()()(（9.2.11）)(tA)(tB)(tC)(tD由微分方程或传递函数表示的线性定常系统转化为状态空间的表示形式设某一连续的线性定常系统，其微分方程描述为：式中，u为输入变量，为输出变量，为输出变量的阶导数，为常系数。uyayayayaynnnnn122)1(1)(（9.2.12）y),,2,1()(niyi),,2,1(niaiyi微分方程转化为状态空间的描述形式：其中：)1()1(21nnyyyxxxX1000100001000010121BaaaaAnnnCXyBuAXtXdd（9.2.15）线性离散系统状态空间的描述可以表述为：两式的差别在于（9.2.17）式的输入是同时的，而（9.2.16）式的输入是有时间延迟的。)()()()()()()()(),1()1(tUtDtXtCtYtUtBtXttAtX或)()()()()()1()()(),1()1(tUtDtXtCtYtUtBtXttAtX（9.2.16）（9.2.17）小结建立一个系统的状态空间模型的方法是：首先确定系统的状态变量、输入变量（或控制变量）及输出变量，然后再建立状态方程组和输出方程组。如果可能的话，将状态变量与输出变量取为同一组变量，则状态方程与输出方程也就变为一组方程，这样对系统建模将带来极大的方便。