2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学文科含解析

2017年普通高等学校招生统一考试（全国Ⅲ卷）文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意可得：2,4AB，AB中元素的个数为2，所以选B.【考点】集合运算【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2．复平面内表示复数i(2i)z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题意：12zi，在第三象限.所以选C.【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)abicdiacbdadbciabcdR.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭为.abi3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【考点】折线图【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有1.频率分布直方图,(特点:频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间概率,所有小长方形的面积之和为1);2.频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．3.茎叶图.对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．4．已知4sincos3，则sin2=（）A．79B．29C．29D．79【答案】A【解析】2sincos17sin22sincos19.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5．设x，y满足约束条件326000xyxy，则zxy的取值范围是（）A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]【答案】B【考点】线性规划【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6．函数1ππ()sin()cos()536fxxx的最大值为（）A．65B．1C．35D．15【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()yAxB的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．7．函数2sin1xyxx的部分图像大致为（）ABD．CD【答案】D【考点】函数图像【名师点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f“”，即将函数值的大小转化自变量大小关系8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】若2N,第一次进入循环，12成立，100100,1010SM，2i2成立，第二次进入循环，此时101001090,110SM，3i2不成立，所以输出9091S成立，所以输入的正整数N的最小值是2，故选D.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2ACAB，所以32rBC，那么圆柱的体积是2233124Vrh，故选B.【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.10．在正方体1111ABCDABCD中，E为棱CD的中点，则（）A．11AEDC⊥B．1AEBD⊥C．11AEBC⊥D．1AEAC⊥【答案】C【考点】线线位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.11．已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）A．63B．33C．23D．13【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,abc的方程或不等式，再根据,,abc的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则a=（）A．12B．13C．12D．1【答案】C【解析】2112xxxxaee，设11xxgxee，211111111xxxxxxegxeeeee，当0gx时，1x，当1x时，0gx函数单调递减，当1x时，0gx，函数单调递增，当1x时，函数取得最小值12g，设22hxxx，当1x时，函数取得最小值-1，若0a，函数hx，和agx没有交点，当0a时，11agh时，此时函数hx和agx有一个交点，即1212aa，故选C.【考点】函数零点【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量(2,3),(3,)abm，且ab，则m=.【答案】2【解析】由题意可得：2330,2mm.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//abxyxy，//,0,abbabR,111BAACOAOBOC(2)向量垂直：121200ababxxyy，(3)向量加减乘：221212(,),||,||||cos,abxxyyaaababab14．双曲线22219xya（a0）的一条渐近线方程为35yx，则a=.【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3yxa，结合题意可得：5a.【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221xyab求渐近线：22220xybyxaba2.已知渐近线ymx设双曲线标准方程222mxy3.双曲线焦点到渐近线距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________.【答案】75°【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16．设函数10()20xxxfxx，，，，则满足1()()12fxfx的x的取值范围是__________.【答案】1(,)4【考点】分段函数解不等式【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设数列na满足123(21)2naanan.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan的前n项和.【答案】（1）122nan；（2）122nn【解析】试题分析：（1）先由题意得2n时，)1(2)32(3121nanaan，再作差得122nan，验证1n时也满足（2）由于121121)12)(12(212nnnnnan，所以利用裂项相消法求和.【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1nncaa(其中na是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)nn或1(2)nn.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有