必修5第1章《解三角形》优化总结

本章优化总结专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲利用正、余弦定理解三角形题型特点：已知三角形的三个独立元素(至少一条边)求其他元素，有时也求三角形的面积，题型多以解答题形式出现，难度较小．知识方法：利用正、余弦定理解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和定理求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．(2010年高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．例1【解】(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－14，所以sinC＝±104，又0＜C＜π，所以sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14，且0＜C＜π得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0，解得b＝6或26，所以b＝6，c＝4，或b＝26，c＝4.三角形解的个数的确定题型特点：若已知两边和一边的对角，利用正、余定理求解，应考虑三角形解的个数，题型多以选择、解答题形式出现，难度为中等题．知识方法：利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa；若sinB＞1，则无解；若sinB＝1，则有一解；若sinB＜1，则可能有两解．利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同的正数解，则三角形有两解．已知a＝2，b＝m，A＝60°，解三角形时只有一解，求m的取值范围．例2【解】如图所示，CD⊥AB，垂足为D，AC＝m，CD＝m·sinA＝32m，要使△ABC只有一解，则只需a＝m·sinA或a＞m，即m＝2sinA＝2sin60°＝232＝433或0＜m＜2.∴m的取值范围是0＜m＜2或m＝433.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状题型特点：根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式)判断三角形的形状，此类题目要求准确把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．知识方法：一般来说，判断三角形的形状问题常用这两种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二，通过角之间的关系判断形状．利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系．在解三角形时常用的结论有：①在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.②在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，则cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC.③在△ABC中，a2＋b2＜c2⇔π2＜C＜π，a2＋b2＝c2⇔cosC＝0⇔C＝π2，a2＋b2＞c2⇔cosC＞0⇔0＜C＜π2.(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)·sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．例3【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，①故cosA＝－12，又A∈(0,180°)，故A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．正弦定理和余弦定理的实际应用题型特点：正、余弦定理在现实生活中有非常广泛的应用，常见题型有测量距离、高度、角度等，多以解答题形式出现，难度相对较大．知识方法：利用正、余弦定理解决这类题的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．(2010年高考陕西卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？例4【解】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．即救援船到达D点需要1小时．