【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五 第3讲

专题五第3讲第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1．填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2．在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲主干知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ0，则直线与椭圆相离．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲主干知识梳理(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲主干知识梳理2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲主干知识梳理3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲主干知识梳理(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破考点一曲线方程的求法及其简单应用例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y1，y2，求y1·y2的值(用t表示)．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破解(1)连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4，所以RA＋RB＝4AB＝2，由椭圆定义，得点R的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，QM，QN的斜率分别为kQM，kQN，则kQM＝y0x0－2，kNQ＝y0x0＋2，所以直线QM的方程为y＝y0x0－2(x－2)，直线QN的方程为y＝y0x0＋2(x－2)．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破令x＝t(t≠2)，则y1＝y0x0－2(t－2)，y2＝y0x0＋2(t－2)，又点M(x0，y0)在椭圆x24＋y23＝1上，所以y20＝3－34x20.所以y1·y2＝y20x20－4(t－2)2＝3－34x20t－22x20－4＝－34(t－2)2，其中t为常数且t≠2.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的点，且|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标．解(1)设N(x，y)，则由MN→＝2MP→，得P为MN的中点，所以M(－x,0)，P(0，y2)．又PM→⊥PF→得PM→·PF→＝0，PM→＝(－x，－y2)，PF→＝(1，－y2)，所以y2＝4x(x≠0)．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P0(x0，y0)到F的距离等于其到准线的距离，即P0F＝x0＋p2，所以|AF→|＝x1＋p2，|BF→|＝x2＋p2，|DF→|＝x3＋p2，根据|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，得x1＋x3＝2x2，直线AD的斜率为y3－y1x3－x1＝y3－y1y234－y214＝4y1＋y3，所以AD中垂线方程为y＝－y1＋y34(x－3)，又AD中点(x1＋x32，y1＋y32)在直线上，代入上式得x1＋x32＝1，即x2＝1，所以点B(1，±2)．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA→＝λAF→，MB→＝μBF→把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破解(1)依题意得b＝3，e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，x24＋y23＝1，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破又由MA→＝λAF→，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝x11－x1，同理μ＝x21－x2，∴λ＋μ＝x11－x1＋x21－x2＝x1＋x2－2x1x21－x1＋x2＋x1x2＝8k23＋4k2－24k2－123＋4k21－8k23＋4k2＋4k2－123＋4k2＝－83.所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破(3)当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK的中点N52，0，猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N52，0，证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点52，0，∵lAE：y－y2＝y2－y14－x1(x－4)，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破当x＝52时，y＝y2＋y2－y14－x1·－32＝24－x1·y2－3y2－y124－x1＝24－x1·kx2－1－3kx2－x124－x1＝－8k－2kx1x2＋5kx1＋x224－x1＝－8k3＋4k2－2k4k2－12＋5k·8k224－x1·3＋4k2＝0.∴点N52，0在直线lAE上．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破同理可证，点N52，0也在直线lBD上．∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点52，0.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得O1A＝O1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴O1M＝x2＋42，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题五第3讲热点分类突破又O1A＝x－42＋y2，∴