【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第3讲

专题八第3讲思想方法概述第3讲分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破类型一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1(1)若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破解析(1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0a1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．(2)当a0时，1－a1,1＋a1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－32.不合题意，舍去．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破当a0时，1－a1,1＋a1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－34.综上可知，a的值为－34.答案(1)14(2)－34本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破已知圆的方程x2＋y2＝1，则过点P(1,2)的圆的切线方程为_______________________．解析当k不存在时，直线为x＝1，也是切线，当k存在时，设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.∴圆心(0,0)到直线的距离d＝|2－k|k2＋1＝1，解得k＝34.∴直线方程为3x－4y＋5＝0.∴切线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.x＝1或3x－4y＋5＝0本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破类型二由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论例2已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．解①当4－3m＝0，即m＝43时，函数y＝－2x＋43，它在[0,1]上是减函数，所以ymax＝f(0)＝43.②当4－3m≠0，即m≠43时，y是二次函数．当4－3m0，即m43时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x＝14－3m0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破f(0)＝m，f(1)＝2－2m，当m≥2－2m，又m43，即23≤m43时，ymax＝m.当m2－2m，又m43，即m23时，ymax＝2(1－m)．当4－3m0，即m43时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝14－3m0，所以函数y在[0,1]上是减函数，于是ymax＝f(0)＝m.由①、②可知，这个函数的最大值为ymax＝2－2m，m23，m，m≥23.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，则PF1PF2的值为________．解析若∠PF2F1＝90°，则PF21＝PF22＋F1F22，∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝25，解得PF1＝143，PF2＝43，∴PF1PF2＝72.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破若∠F2PF1＝90°，则F1F22＝PF21＋PF22＝PF21＋(6－PF1)2，解得PF1＝4，PF2＝2，∴PF1PF2＝2.综上所述，PF1PF2＝2或72.答案2或72本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破类型三由参数变化引起的分类讨论例3已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax(0a1)，讨论函数f(x)的单调性．解f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝1a－1.(1)若0a12，则x2x1.当0x1或者x1a－1时，f′(x)0；当1x1a－1时，f′(x)0.故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，1a－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破(2)若a＝12，则x1＝x2，此时f′(x)≤0恒成立，且仅在x＝12处等于零，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)若12a1，则0x2x1，当0x1a－1或者x1时，f′(x)0；当1a－1x1时，f′(x)0.故此时函数f(x)的单调递减区间是0，1a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是1a－1，1.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解(1)由已知x0，f′(x)＝x－(a＋1)＋ax，因为曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋a2＝1，所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故曲线f(x)在(2，f(2))处的切线方程为x－y－2＝0.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－a＋1x＋ax＝x－1x－ax.①当0a1时，若x∈(0，a)，f′(x)0，函数f(x)单调递增；若x∈(a,1)，f′(x)0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，f′(x)0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－12a2＋alna，极小值是f(1)＝－12；本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破②当a＝1时，若x∈(0,1)，f′(x)0，若x＝1，f′(x)＝0，若x∈(1，＋∞)，f′(x)0，所以函数f(x)在定义域内单调递增，此时f(x)没有极值点，也无极值．③当a1时，若x∈(0,1)，f′(x)0，函数f(x)单调递增；若x∈(1，a)，f′(x)0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，f′(x)0，函数f(x)单调递增，此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－12，极小值是f(a)＝－12a2＋alna；本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破综上，当0a1时，f(x)的极大值是－12a2＋alna，极小值是－12；当a＝1时，f(x)无极值；当a1时，f(x)的极大值是－12，极小值是－12a2＋alna.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集的讨论．(2)函数：对数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．(3)数列：由Sn求an分n＝1和n1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论．(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题八第3讲热点分类突破(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数