高中数学必修一高频考点、常考题型及易错题型

高中数学必修一（理科）高频考点、常考题型及易错题型专题1集合【高考命题趋势、难易度及分值分布】主要以考查集合相关概念和计算为主，侧重考查两个集合的交、并、补运算；一般为选择题和填空题，占5分，难度较低。【必会高频考点】一、元素的3大特性（互异性）、元素与集合的2种关系、集合与集合的3种关系、集合与集合的3种运算二、6大经典结论（一）子集个数若集合A有(1)nn个元素，则它有2n个子集，21n个真子集，21n个非空子集，22n非空真子集.（二）6个等价关系（注意不要忽略A为空集的情况）A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅⇔∁U(AUB)=R（三）5个与空集有关的结论1.BA包含分A=Ø和A≠Ø两种情况，A≠Ø又分A=B和AB两种情况.当题目中出现A⊆B或A∩B＝A或A∪B＝B时，在解题过程中务必注意对集合A进行分类讨论，即分A=Ø和A≠Ø两种情况进行讨论.2.A，A（A≠Ø）3.若A∩B＝∅，则A或B可能是∅或A与B均不为∅但无公共元素；若A∪B＝A，则B可能是∅.4.Ø与{Ø}的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集.Ø∈{Ø}、Ø{Ø}均正确.只有一个子集，就是它本身.5.5种空集的情况A={x|ax+b=0}=Ø⇔a=0,b≠0A={x|ax2+bx+c=0,a≠0}=Ø⇔b2-4ac0A={x|mxn}=Ø⇔m≥nA={x|ax+b0}=Ø⇔a=0,b≤0A={x|ax2+bx+c0,a≠0}=Ø⇔a0,b2-4ac≤0（四）如何读懂集合？先分区是数集，还是点集。集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)0}{x|y＝f(x)}{y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}含义方程f(x)＝0的解集不等式f(x)0的解集函数y＝f(x)的定义域函数y＝f(x)的值域函数y＝f(x)图象上的点集（五）容斥原理（集合交并运算后，元素个数关系）()()cardABcardAcardBcardAB()()cardABCcardAcardBcardCcardAB()()()()cardABcardBCcardCAcardABC（六）德摩根定理();()UUUUUUCABCACBCABCACBA∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)用集合A、B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B；A∩(∁UB)；B∩(∁UA)；∁U(A∪B)或(∁UB)∩(∁UA)．【必会一般考点】一、5类数集表示方法（N或N+表示正整数集）二、5种集合的表示方法1.自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.3.描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.4.区间法:（a，b）、[a，b]、（a，b]、[a，b）、（a,+∞）、（-∞，b）对于集合{|}xaxb与区间(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab．5.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.【规律方法技巧】一、解决集合问题的5大法宝：数轴、韦恩图、坐标系（平几）、解方程、列举法1.离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图或交、并、补的定义求解2.点集的运算常利用数形结合（坐标系）的思想或联立方程组进行求解3.连续型数集的运算，常借助数轴求解4.如不易比较集合中元素与元素关系时，可采取列举法，观察前几项关系二、学好集合问题须做到“五看”一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合.二看约束条件；三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单.四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用.【易错题型及创新题型】如何破解集合的五类易错题型和一类创新题型？1.大意：似曾相识的题目。计算失误：与指数函数、对数函数、幂函数、绝对值函数和分段函数相结合的题型。找不到解题切入点或不能等价转换：创新题。2.由入门级的一次方程/不等式、二次方程/不等式逐步深入到指对数不等式、分式不等式、绝对值不等式、三角不等式、复数等转变。易错点1含参集合忽视元素的互异性【问题1】:已知1∈{2a,2(1)a,233aa}，求实数a的值。【练1】:已知集合A＝{1，3，2a－1}，B＝{3，a2}，若B⊆A，求实数a的值。【练2】:已知集合22342Maa，，，207422Naaa，，，，且37MN，，求实数a的值．易错点2忽视空集【问题1】:已知2{|2},{|21}AxaxaBxx，且BA，求a的取值范围。【练1】:设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，①若B⊆A，求a的值；②若A⊆B，求a的值．【练2】:已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()【练3】:已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为________．【练4】:设2|8150Axxx，|10Bxax，若ABB，求实数a组成的集合的子集个数？8个.易错点3对集合表示方法理解存在偏差（不能确定集合由哪些元素组成）【问题1】:已知{|0},{1}AxxByy，求AB。【问题2】:已知22{|2},{(,)|4}AyyxBxyxy，求AB。【练1】:A={(x，y)|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=()【练2】:A={y|y=x2+1}，B={y|y=x-1},则A∩B=()【练3】:已知集合M＝{(x，y)|y＝－x＋1}，N＝{(x，y)|y＝x－1}，那么M∩N为()易错点4参数可否取“=”问题（遗漏端点）【规律总结】1.处理技巧.2.精益求精、规范答题.3.实心的点与空心的圆圈的应用.【问题1】:已知集合A=｛x︳0＜2x≤3+a｝，B=｛x︳-0.5＜x＜2｝，若AB,求a的取值范围.【练1】:已知集合A＝{x|1≤x5}，C＝{x|－ax≤a＋3}.若C∩A＝C，则a的取值范围是________.易错点5方程、不等式、函数最高项系数为字母，忽略字母为0的情况【问题1】:设2|8150Axxx，|10Bxax，若ABB，求实数a组成的集合的子集有________个.【练1】:若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4创新题型与集合相关的创新性题型，即新概念、新定义、新性质题型1.对于任意两个正整数,mn,定义某种运算“※”如下:当,mn都为正偶数或正奇数时,m※n=mn;当,mn中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合{(,)|Maba※16}b中的元素个数是（）A.18个B.17个C.16个D.15个【解析】因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，116=16，集合M中的元素是有序数对（a,b），所以集合M中的元素共有82+1=17个，故选B.2.【2016年广东揭阳一模】非空数集A如果满足：①0A；②若对,xA有1Ax，则称A是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}xRxax；②2{|410}xxx；③ln1{|,[,1)(1,]}xyyxexe；④22,[0,1)51.[1,2]xxxxxyy.其中“互倒集”的个数是（）A．4B．3C．2D．1【经典题型】1.【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考】已知集合2{|20}Pyyy，2{|0}Qxxaxb，若PQR，(2,3]PQ，则ab.【解析】2{|20}{|21}Pyyyyyy或，若PQR，(2,3]PQ，由PQR，(2,3]PQ，所以13{|}Qxx，∴13，是方程20xaxb的两根，由根与系数关系得：1335abab，．2.【2016年榆林二模】已知集合1|11,|22xAxxBxy，则RACB.3.【2015届湖北省七市高三4月联考】集合{|2sincos}MxxR，，{|124)xNx≤≤，则MN（）A．1[2]2，B．[11]，C．1[1]2，D．[0，1]【答案】D4.【2015届广东省汕头市潮南区高三5月高考模拟】已知集合2log12Mxx，6Nxax,且2,MNb,则ab（）A．4B．5C．6D．75.【2015届浙江省高三第二次考试五校联考】NmmxxxAnnn,3,22|1，若nA表示集合nA中元素的个数，则5A，则12310...AAAA．【解析】当5n时，65232m，364332m，即2111m，115A，由于n2不能整除3，从12到112，326823211，3的倍数，共有682个，6821021AAA.6.设集合22,|16,,AxyxyxyZZ，则集合A的子集个数为（）A.8B.32C.16D.15【解析】22,|16,,4,0,4,0,0,4,0,4AxyxyxyZZ，共有4个元素，故集合A的子集个数为4216，故答案为C.如何学好高中函数知识？1.一算（4种不等式解法）、一图（8种图象画法、4大变换技巧）、一解、两域、一定、一最、四性、一渐；2.一参、一恒、一存、一恰每新学一个函数，均要研究上述内容高中阶段部分常见不等式的解法？1.一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxca的图象O二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（12)xx122bxxa无实根不等式20(0)axbxca的解集1{|xxx或2}xx{|x}2bxaR不等式20(0)axbxca的解集12{|}xxxx(1)一元二次不等式的解法及步骤？20(0)axbxca的解为“大两边、小中间”，即“xx大或xx小”，“x小xx大”.若a0，怎么处理？(2)一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数的区别与联系？(3)十字交叉相乘法的技巧？2.分式不等式的解法（1）00xgxfxgxf；（2）00xgxfxgxf；（3）000xgxgxfxgxf；（4）000xgxgxfxgxf.3.绝对值不等式的解法不等式解集||(0)xaa{|}xaxa||(0)xaa|xxa或}xa||,||(0)axbcaxbcc把axb看成一个整体，化成||xa，||(0)xaa型不等式来求解4.指数不等式与对数不等式解法(1)当1a时,()()()()fxgxaafxgx；()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx.(2)当01a时,()()()()fxgxaafxgx；()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx高一上学期8种常见函数的图像及其性质？“一解、二域、一定、四性、一最、一渐”与“作图、识图、用图”函数名一次函数二次函数反比例函数指数函数解析式)0()(