专题8――二次函数综合题

类型一：二次函数中的动点问题例题：（2017遵义）如图，抛物线与Ｘ轴交于Ａ,Ｃ两点，与Ｙ轴交与Ｂ点，直线AB的函数关系式为（１）求该抛物线的函数关系式与点Ｃ的坐标；（２）已知点Ｍ（m，0）是线段ＯＡ上的一个动点，过点Ｍ做Ｘ轴的垂线Ｌ分别与直线ＡＢ和抛物线交于Ｄ，Ｅ两点，当m为何值时，∆BDE恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形？),0(2为常数，＜baababxaxy.31698xy（３）在（２）问条件下，当恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形时，动点Ｍ相应位置记为点，将绕原点Ｏ顺时针旋转得到ＯＮ（旋转角在0°到90°之间）；ｉ探究：线段ＯＢ是那个是否存在定点Ｐ（Ｐ不与Ｏ，Ｂ重合），无论ＯＮ如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由；ｉｉ试求出此旋转过程中，的最小值.BDENBNP)43(NBNAMMO【分析】（1）根据已知条件得到解方程组得到抛物线的函数关系式为：于是得到Ｃ（１，０）；（2）由点Ｍ（ｍ，０），过点Ｍ作Ｘ轴的垂线分别与直线ＡＢ和抛物线交于Ｄ、Ｅ两点，得当ＤＥ为底时，作于点Ｇ，根据等腰三角形的性质得到列方程即可得到结论；),0,6(),316,0(AB,316940982xxyl),31698,(mmD,21EDGDEG,316OBGMDEBG（3）ｉ根据已知条件得到特殊的当时，根据相似三角形的特质得到于是得到结论；ｉｉ根据题意得到Ｎ在以Ｏ为圆心，４为半径的半圆上，由（ｉ）知于是得到三点共线，根据勾股定理得到结论．,,316,4BONNOPOBNOON由BONNOP~,43OBONNBNPONOPNBNPONOPNBNP43,43得到PANNPNANBNA,,)43(，此时的最小值【解】,31606360,63160),0,6(),316,0(,6,0,316,03169812bababababxaxyABABxyyxxy得）代入（），，（把则令则中，令）在（.940,98ba）；，（则令：抛物线的函数关系式为01,1,6,031694098,0,316940982122Cxxxxyyxxy（2）为底边的等腰三角形；恰好是以时，当（不合题意，舍去），解的：，则于点为底时，作当两点，、和抛物线交于分别与直线轴的垂线作），过点，（点DEBDEmmmmmmmOBGMDGDMOBGMEDGDEGGDEBGDEmmDEDABlxMmM40,4,316)3169831694098(2131698,,316,21),31698,(0212（3）.5363)43,,,)43(,43NP,43i4ii)3,0(3,43~,,316422最小值（三点共线，此时最小值）知，由（为半径的半圆上，为圆心，在以，不变，即时，当，存在，NBNAPANNPNANBNANBONOPNBNPONPOPNBNPOBONNBNPONOPBONNOPBONNOPOBMOONi【方法指导】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形的关系，掌握旋转的坐标规律.动点问题题型总结动态几何特点---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是考试热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其他角函数、线段或面积的最值。类型二：二次函数中的动线问题例题：（2016黄冈）如图，抛物线与Ｘ轴交于点Ａ，Ｂ．与ｙ轴交于点Ｃ，点Ｄ与点Ｃ关于Ｘ轴对称，点Ｐ是Ｘ轴上的一个动点，设点Ｐ的坐标为（ｍ，０），过点Ｐ作Ｘ轴的垂线交抛物线于点Ｑ．（１）求点Ａ，Ｂ，Ｃ，的坐标；（２）求直线ＢＤ的解析式；（３）当点Ｐ在线段ＯＢ上运动时，直线交ＢＤ于点Ｍ，试究探ｍ为何值，四边形ＣＱＭＤ是平行四边形；（４）当点Ｐ的运动过程中，是否存在点Ｑ，使是以ＢＤ为直角的直角三边形？若存在，请求出点Ｑ的坐标；若不存在，请说明理由．223212xxylBDQ【分析】.,4421-)221(22321-.4).22321,(22321.221,20,3.,,223210,0122222的值解之可得）（上运动时，在线段当为平行四边形，则要使四边形的坐标为上，所以可得点在因为点）（坐标为）可知点上，根据（在直线），所以可知（）因为（的坐标中，即可得出点分别代入）将（mmmmmmQMOBPCMQMCQMDmmmQQxxyQmmMBDMmPCBAxxyyx.04.2.2-02的解析式的值，从而求出）代入，可得，（把为设直线），（轴对称，所以关于与点）因为点（BDkBkxyBDDxCD【分析】..;4222222果分别解方程即可得到结为直角顶点时，则有当以点为直角顶点时，则有当以点因此需要分情况讨论：，但不知直角顶点，为直角边的直角三角形是以）（BDDQBQDBDBQDQBBDBDQ【解】.221.21.24004,2.2-0)2().0,4(),0,1(.4,10223210).2,0(,2223291012122xyBDkkBkxyBDDxCDBAxxxxycxxyx的解析式为直线得）代入，，（把的解析式为设直线），（轴对称，关于与点点，解得时，当时，）当（.2.2)(0,4421)221()22321(.4//).22321,(),221,(),0,(3222mmmmmmmmQMOBPCDQMCDQMCQMDmmmQmmMmP或不合题意，舍去解得上运动时，在线段当，则为平行四边形，若四边形）（).2,3().(4,3,20)22321()4(222321(..20,222321(,)22321()4(,22321,4212222222222222222222的坐标为点舍去解得）为直角顶点时，则有①当以点））的坐标为（）存在，设点（QmmmmmmmmBDBQDQBBQmmmDQmmmBQmmmQ).18,8(),0,1(),2,3().18,8()0,1(.8,1,20222321()22321()4(.21222222222的坐标为综上所述，所求点，的坐标为点解得）则有为直角顶点时，②当以点QQmmmmmmmmBDDQBQD【方法指导】本题考查知识点较多，综合性较强，主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，一次函数，对称，动点问题等知识点，在（4）中要注意分类讨论思想的应用.类型三：二次函数中的最值问题例题：（2017海南）抛物线（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线相交于Ｃ、Ｄ两点，点Ｐ是抛物线上的动点且位于ｘ轴下方，直线ＰＭ//ｙ轴，分别与ｘ轴和直线ＣＤ交于点Ｍ、Ｎ..05)0,1(32），（和点经过点BAbxaxy353xy①连接ＰＣ、ＰＤ，如图１，在点Ｐ运动过程中，∆ＰＣＤ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接ＰＢ，过点Ｃ作垂足为Ｑ，如图２，是否存在点Ｐ，使得相似？若存在，求出满足条件的点Ｐ的坐标；若不存在，说明理由．,PMCQPBMCNQ与【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用特定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出点P坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用ｔ表示出∆PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；②当∆CNQ与∆PBM相似时有两种情况，利用点P坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于点P坐标的方程，可求得点P坐标.PMBMCQNQBMPMCQNQ或【解】;351853,03525,0305013122xxybabaBAbxaxy析式为该抛物线对应的函数解），，（）和点，（经过点抛物线）（,518,53ba解得【解】与抛物线解析式可得联立直线交于点轴和直线轴，分别与直线，＜＜可设轴下方，于是抛物线上的动点且位点）①（CDttttPNttNtMNMCDxyPMttttPxP20147)27(53)351853(353),353,(),0,(,,//)51)(351853,(2222.401029)27(1021]20147)27(53[27272121,7,1,,,),536,7(),3,0(,351853,353222ttPNDFPNCEPNSSStDEtCEFEPNDCDCxxyxyPDNPCNPCD，则，如图垂足分别为的直线作直线分别过,536,730yxyx或解得.351853)351853(0,5),0,5(),0,(),351853,(,35.533353,.353,30,3,,,PBMCNQ90PMBCQN.2222ttttPMtBMBtMtttPNQCQttNQtCQttNCtQQPMCQPMBMCQNQBMPMCQNQ）（），，（且）（垂足为两种情况，或有相似时，与当，②存在，如图.2755934592;27559345934).351853(5355359252.553351853,5322），）或（，其坐标为（，的点综上可知存在满足条件），（（舍去），此时或解得，即时，则当）；，（（舍去），此时或解得）（即时，则当PPtttttPMBMPMBMCQNQPtttttBMPMBMPMCQNQ【方法指导】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点，二次函数的性质、相似三角形的判断和性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用点Ｐ的坐标表示出∆PCD的面积是解题的关键，在（2）②利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.函数解题思路方法谢谢观看