2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件：第5章第四节 数列求和(苏教版江苏专用

第四节数列求和第四节数列求和考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．公式法求和(1)直接由等差、等比数列的求和公式求和．(2)掌握一些常见数列前n项和1＋2＋3＋…＋n＝__________.1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_______n2.nn＋122．错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是____________和___________3．倒序相加法将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是__________求和公式的推广．等差数列等比数列．等差数列4．分组转化法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并．5．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：(1)1nn＋1＝______________.(2)12n－12n＋1＝________________．(3)1n＋k＋n＝_______________.1n－1n＋112(12n－1－12n＋1)n＋k－nk裂项相消时的注意事项有哪些？思考感悟提示：裂项相消时，如12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，相消时，消掉了哪些项、剩下了哪些项要特别注意．课前热身1．数列12×4，14×6，16×8，…，12n2n＋2，…的前n项和为________．答案：n4n＋42．(2011年镇江调研)设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于________．答案：27(8n＋1－1)3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于________．答案：64．数列{an}的通项公式an＝(－1)n－1(4n－3)，其前n项和为Sn，则S100等于________．答案：－200考点探究·挑战高考考点突破倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)，其最简单的形式为：若数列{an}中有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…，就可以用此方法求和．设函数y＝f(x)的定义域为R，其图象关于点(12，12)成中心对称，令an＝f(kn)，(n∈N*，n≥2)，k＝1,2,3，…，n－1，…，求数列{an}的前(n－1)项的和．【思路分析】图象关于(12，12)成中心对称，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以f(kn)＋f(1－kn)＝1，即可利用倒序相加法求Sn－1.例1【解】∵y＝f(x)的图象关于点(12，12)对称，∴f(x)＋f(1－x)＝1，∴f(kn)＋f(n－kn)＝1.Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝f(1n)＋f(2n)＋…＋f(n－1n)，Sn－1＝an－1＋an－2＋…＋a1＝f(n－1n)＋f(n－2n)＋…＋f(1n)．两式相加得2Sn－1＝(n－1)·1，∴Sn－1＝n－12.变式训练1已知函数f(x)＝x21＋x2，则f(14)＋f(13)＋f(12)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.【名师点评】当数列具有“首尾配对”，“中心对称”特征时，常用倒序相加法．解析：∵f(n)＋f(1n)＝n21＋n2＋1n21＋1n2＝1，∴f(14)＋f(13)＋f(12)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝72.答案：72变式训练2已知函数f(x)＝12x＋2，则f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)＝________.答案：32错位相减法求和用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．(2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.【思路分析】(1)由an＋1－an＝3·22n－1的结构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察bn的通项式特点，用错位相减法求Sn.例2【解】(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1，而a1＝2符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知，Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．【名师点评】错位相减法的运用并不困难，其难点是运算的结果不易计算正确，最后的结果，往往显得繁琐，因而整理化简过程中要格外细心．变式训练3在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝1log2an·log2an＋1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q.依题意，得a1＝2，a4＝a1q3＝16.解得q＝2，∴数列{an}的通项公式an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得log2an＝n，log2an＋1＝n＋1.bn＝1nn＋1＝1n－1n＋1.∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.分组求和法1．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．2．常见类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＋a5＝64(1a3＋1a4＋1a5)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1an)2，求数列{bn}的前n项和Tn.例3【思路分析】(1)用a1，q代入两已知条件，可求出a1，q；(2)化简bn的式子，分组求和．【解】(1)设公比为q，则an＝a1qn－1，由已知有a1＋a1q＝21a1＋1a1q，a1q2＋a1q3＋a1q4＝641a1q2＋1a1q3＋1a1q4.化简得a21q＝2，a21q6＝64.又a10，故q＝2，a1＝1.所以an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝(an＋1an)2＝a2n＋1a2n＋2＝4n－1＋14n－1＋2.因此Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋14＋…＋14n－1)＋2n＝4n－14－1＋1－14n1－14＋2n＝13(4n－41－n)＋2n＋1.【名师点评】分组求和法要注意数列的特征或求和式子的特征，分成哪样的几种数列求和，怎样分组都是在解题过程中应特别要注意的．拆项、裂项求和法1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．2．一般情况如下，若{an}是公差不为0的等差数列，则1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)，1an·an＋2＝12d(1an－1an＋2)．此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.例4【思路分析】(1)由基本量的运算求出an及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相消法求和．【解】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，因此bn＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝n4n＋1.所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.【名师点评】如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如{1anan＋1}，其中{an}是等差数列，可尝试采用此法．常用裂项技巧如：①1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)．②1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)．使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项相消是此法的目的．变式训练4(2011年南通调研)已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，令bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；(2)是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为{an}是等差数列，由a2n＝S2n－1＝a1＋a2n－12n－12＝(2n－1)an，又因为an≠0，所以an＝2n－1，由bn＝1anan＋1＝12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，所以Tn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝n2n＋1.(2)由(1)可知，Tn＝n2n＋1，所以T1＝13，Tm＝m2m＋1，若T1，Tm，Tn成等比数列，则(m2m＋1)2＝13(n2n＋1)，即m24m2＋4m＋1＝n6n＋3.可得3n＝－2m2＋4m＋1m2，所以－2m2＋4m＋10，从而：1－62m1＋62，又m∈N*，且m1，所以m＝2，此时n＝12.故可知：当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．方法感悟方法技巧1．求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数．2．非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：(1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成．(2)不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消、错位相减和倒序相加法求和．一般如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差，一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项分组法．3．数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题决窍．4．通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论．失误防范1．利用裂项相减法求和，裂项能否等价转化及怎样相消易出错，为避免出错，在裂项时，可检