2012届高考数学(理科)复习课件：专题十教材回扣第3讲三角函数与平面向量(人教A版)

平面向量概念解斜三角形平面向量的运算实数与向量的积向量共线的充要条件：平面向量的基本定理有且只有一个非零实数λ,使b=λa特殊点的坐标中点坐标公式三角形重点坐标公式x=y=221xx1233yyy(端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2))(顶点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3))x=1233xxx122yyy=解斜三角形的应用举例正、余弦定理正弦定理余弦定理2sinsinsinabcRABC(R是△ABC的外接圆半径)；a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC;三、三角函数与平面向量高频考点整合A基础回扣训练1．若角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P(4a，－3a)为其终边上一点，则cosα的值为()A.45B.35C．－35D．±45解析本题考查三角函数的意义，以及分类讨论的基本思想．注意r＝(4a)2＋(－3a)2＝5|a|，∴cosα＝xr＝4a5|a|＝±45，选D.D2．已知下列命题：①若k∈R，且kb＝0，则k＝0或b＝0；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③若不平行的两个非零向量a，b满足|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0；④若a与b平行，则a·b＝|a|·|b|.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析①是对的；②可得a⊥b；③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，正确，④两向量平行时，夹角为0°或180°，a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|.故选C.C3．若sin2α2＝13，则cos2α等于()A．－79B.79C．－13D.13解析cosα＝1－2sin2α2＝1－2×13＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×(13)2－1＝－79.A4．O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．斜三角形D．等边三角形解析由已知得|CB→|＝|AB→＋AC→|即|CB→|2＝|AB→|2＋|AC→|2＋2|AB→|·|AC→|cosA由余弦定理得：CB2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，∴2|AB→|·|AC→|cosA＝－2AB·AC·cosA，∴cosA＝0.故A＝π2，选B.B名师点睛本题考查向量的线性运算及余弦定理的应用．5．为了得到函数y＝sin(2x－π6)的图象，可以将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度解析∵y＝sin(2x－π6)＝cos[π2－(2x－π6)]＝cos(2π3－2x)＝cos(2x－2π3)＝cos2(x－π3)，∴将函数y＝cos2x的图象向右平移π3个单位长度．B6．已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB→·AC→≤6，则函数f(A)＝sinA＋sin(A－π2)的最大值为()A．1B.2C.32D．0解析S△ABC＝3，且0≤AB→·AC→≤6，∴12|AC→|·|AB→|sinA＝3,0≤|AB→|·|AC→|cosA≤6，从而tanA≥1，A∈[π4，π2]，f(A)＝2sin(A－π4)，∴f(A)max＝1.A7．如图，O点在△ABC内部，D、E分别是AC，BC边的中点，且有OA→＋2OB→＋3OC→＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为()A．2B．3C.32D.53解析因为D，E分别是AC，BC边的中点，则OA→＋OC→＝2OD→，①2(OB→＋OC→)＝4OE→②由①＋②得，OA→＋2OB→＋3OC→＝2(OD→＋2OE→)＝0，即OD→与OE→共线，且|OD→|＝2|OE→|，由此可得△AEC与△AOC在边AC上高的比为3∶2，∴S△AECS△AOC＝32.故选C.答案C8．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A．关于点(π12，0)对称B．关于直线x＝5π12对称C．关于点(5π12，0)对称D．关于直线x＝π12对称解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)得T＝2πω＝π，∴ω＝2，平移后的函数g(x)＝sin[2(x＋π6)＋φ]＝sin(2x＋π3＋φ)，∵g(x)是奇函数，∴π3＋φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.∴f(x)＝sin(2x－π3)，令2x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，则x＝kπ2＋5π12，k∈Z.当k＝0时，x＝5π12，所以f(x)关于x＝5π12对称．答案B9．锐角三角形ABC中，若A＝2B，则下列叙述正确的是()①sin3B＝sinC；②tan3B2tanC2＝1；③π6＜B＜π4；④ab∈[2，3]A．①②B．①②③C．③④D．①④解析2B＜π2⇒B＜π4，A＋B＝2B＋B＝3B＞π2⇒π6＜B＜π4，sin(A＋B)＝sinC⇒sin3B＝sinC，tanA＋B2＝tanπ－C2＝sinπ－C2cosπ－C2＝cosC2sinC2⇒tan3B2tanC2＝1，ab＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB∈(2，3)．B10．已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．解析由原等式得：OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，即AP→＝λ(AB→＋AC→)，由平行四边形法则知：AB→＋AC→是△ABC的中线所在向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．重11．给出下列命题：①向量a、b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°；②a·b＞0是a、b的夹角为锐角的充要条件；③若a·b＝a·c，则b＝c；④在△ABC中，若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形；以上命题正确的是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)解析①中取特值零向量时结论错误；②中a、b夹角为0°时结论错误；③中a为零向量时，结论错误．④12．已知向量m＝(cosx，－sinx)，n＝(cosx，sinx－23cosx)，x∈R，令f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π4]时，求函数f(x)的值域．解(1)f(x)＝m·n＝cos2x－sinx(sinx－23cosx)＝cos2x＋3sin2x＝2sin(2x＋π6)．∵函数y＝sinx的单调增区间为[2kπ－π2，2kπ＋π2]，k∈Z，∴2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2.∴kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈Z.(2)当x∈[0，π4]时，π6≤2x＋π6≤2π3，∴1≤2sin(2x＋π6)≤2，∴函数f(x)的值域为[1,2]．名师警示易错点1用错三角函数的定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P(x，y)，|OP|＝r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.在这个定义中最容易弄错的就是正弦和余弦的定义，在解决与三角函数定义有关的试题时，一定要注意其准确性，不要把x，y的位置颠倒．易错点2忽视函数定义域的限制与变化而致错三角函数的定义域问题是三角函数的基本性质之一，几乎涉及所有的函数问题，为高考最基本的命题点．此类问题可难可易，主要考查考生对三角函数基础知识的理解、掌握和运用能力．定义域问题也是解题过程中最容易出错和忽视的，在平时的备考中要特别注意．易错点3三角函数奇偶性判断致误研究函数的奇偶性首先要考虑函数的定义域，在定义域满足奇偶函数要求的前提下再按照奇偶函数的定义进行判断．在判断形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的奇偶性时，注意根据φ的取值看能否化为y＝Asinωx(或y＝Acosωx)的形式，再根据定义进行判定．易错点4三角函数的单调性判断致误正弦函数y＝sinx在区间[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减，余弦函数y＝cosx在区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减；正切函数y＝tanx在区间(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性，当ω＞0时，由于内层函数u＝ωx＋φ是单调递增的，所以整个函数的单调性和y＝sinx的单调性相同，故可完全按照函数y＝sinx的单调区间解决，但当ω＜0时，内层函数u＝ωx＋φ是单调递减的，此时整个函数的单调性和函数y＝sinx的单调性相反，就不能再按照函数y＝sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性提取－1，将内层函数的系数变为正数后再加以解决．对于带有绝对值的三角函数应该根据图象，从直观上进行判断．易错点5图象变换方向把握不准致误函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，x∈R)的图象可看做由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度；(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)．即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换．若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移|φ|ω个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．易错点6忽视零向量性质致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线．它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视．易错点7向量加减法的几何意义不明致误根据向量减法的三角形法则，两个向量相减，所得向量是减向量的终点指向被减向量的终点所得的向量，也就是说对于平面上任意一点O，都有MN→＝ON→－OM→，这个结论由于点O的任意性，又可以写成MN→＝AN→－AM→＝BN→－BM→＝…，它为考生解决问题带来了很大的便捷．易错点8忽视平面向量基本定理的使用条件致误如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，特别地，当a＝0时，λ1＝λ2＝0.在平面向量的知识体系里，平面向量基本定理是基石，平面向量定理是重要工具，在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用，在使用平面向量基本定理时要注意其使用条件是两个基向量不共线．易错点9向量的坐标运算不准致误已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＝(λx1，λy1)，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，a·b＝x1x2＋y1y2，cosθ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22，a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|＝x1x2＋y1y2x22＋y22，在坐标形式下，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，要特别注意平行的充要条件，很容易用错．在解答与向量的坐标运算有关的试题时要注意核查运算过程，时时刻刻注意运算的准确性，防止出现运算上细微疏忽导致整个题目结果出现错误的严重后果．易错点10向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题．数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当已知两个向量所成的角为锐角时，要注意角等于零的情况，再如当a·b＜0时，a与b的夹角