2-2随机变量及其分布律

主要内容（1.5学时）一、离散型随机变量的分布律；二、连续型随机变量及其概率密度;三、分布函数第二节随机变量及其分布函数一、离散型随机变量的分布律kkX(k1,2,...,),(k1,2,...,),x}pk设为离散型随机变量,则X的及取各个可能所有可能取值P{X=值的概率称为离散x型X的分布律.k;b.(1).}=pkk两个a.所有可能取值x取各值的概率P{X=x要素:说明：kkkk=1a.p0(k=1,2,...)(2)pb.:p1满足两个条件k(3):p(k=1,2,...).k分布律表示方法a.(列出所有可能取值x及其概率列举法kbp(k=1,2,...).k.(列出X取一般项x的概率计算公式公式法Xkp12kxx...x...12kpp...p...k(k1,2,...p,})kP{X=xc.线条图，概图示法率直方图例1(P33)一批产品的废品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随即变量来描述废品出现的情况。写出的分布。解:随机变量X取值范围0,1.=0表示产品为不合格品=1表示产品为合格品对应的概率值01P()=95%P()=5%01P95%5%0-1分布（伯努里分布）随机变量X取值两个：0、1，P(X=1)=p，则分布律为：X01P(X=k)1-pp列表法：公式法：1{}(1)(k=0,1)kkPXkpp举例：（1）随机抽取医院一产婴是否为男婴。（2）工厂随机抽取一产品是否合格。（3）掷骰子一次是否出现6点。110ee,6)X=X(e)=1ee,6)(女婴,不合格非点(男婴,合格点二项分布（1）n重伯努里试验：A,A随机试验的结果只有两个:,则称试验E为伯努里试验.E地进行n次伯努里试n独立重复重伯努验E,里试验.X为n次试验中A发生的次数中,每次试验中事件A发生的概率,记,则X所服从的分布称为二项分布.表示n重伯努里试验P(A)=pXb(为:n,p)（2）二项分布例设射手每次击中目标的概率p=0.75,且各次射击相互独立。现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的分布律；（2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。44107502501234()()(.)(.)(,,,,)kkkPXkCk3343423075025()()(.)(.)=0.422PXCX的可能取值有:0,1,2,3,4.Xb(2,显然,0.75):{},.A解定义击中目标伯努利试验3212()()()PXPX101()()PXPX4114141025075025(.)(.)(.)=0.949C例某人每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解:400重独立重复试验。设X表示400次射击中的击中次数显然,X~b(400,0.02)400400002098()(.)(.)k=0,1,2,...,400kkkPXkC400400002098(.)(.)400k=2所求概率为:P(X2)=kkkC011-P(X)-P(P2)=X(X)40039910984000020980997.*.*..启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生例4(P35)社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买一张，直到中奖为止。求该人购买次数的分布。1(1)....(1)解:=1表示第一次购买奖券中奖P(=1)=2表示第二次购买奖券中奖P(=2)=i表示第i次购买奖券中奖P(=i)ippppp几何分布X为事件A首次发生时已试验的次数伯努里试验中,事件A发生的概率P(A)=p.记,则X服从几何分X布.G记作:e(p)特点：kk-1-1=P(A...AA)=P(A)...PP{X=k}(1-p)p(A)=1,2,...k(1)某产品不合格率0.1，则首次查到不合格品的检查次数X~Ge(0.1).即前m次试验中A没有出现条件下，则在接下来n次试验中A仍未出现的概率只与n有关，而以前的m次试验无关.:XGe(p),m,nN,P(Xm+n|Xm)=P(Xn)设则对任忆意无记性成立分布律：举例：(2)某射手命中率为0.6，则首次击中目标的射击次数Y~Ge(0.6).(3)同时掷两骰子，则点数之和首次为8点的投掷数Z~Ge(5/36).超几何分布X为其中的次品数设N个产品中有M个次品,从中不放回地随机任取n个,设.则称X服从超几何分布.记作:X(n,)N,Mh分布律：举例：X的可能取值为0，1,2,…，min(n,M)。袋中白球5个，黑球10个，任取3个，其中白球个数为X~h(3,15,5)kn-kMN-MnNCCP{X=k}=k=0,1,2,...,min(n(C,M))(1)pp二、连续型随机变量及其概率密度特点：1、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。2、随机变量取任一值的概率为0，即P(X=x)=0。用直方图近似正态分布的概率密度演示矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度例子：1、灯泡（电视机）的寿命；2、股票的收益率等。背景:1、概率密度的定义1.()0.2.()=1.3.,(),(),:(){}(.)bafxfxdxabRabPaXbfXfxXfxXxdx设是随机变量,如果存在非负可积函数满足则称为连续型随机变量,称为成的概率密度立说明：f(x)、x轴所围曲边梯形面积等于1概率密度定义及性质(重点)P{aX≤b}等于f(x)、x轴、直线x=a、x=b所围曲边梯形面积改变f(x)在个别点的值，不影响P{aX≤b}的值2、概率密度的主要性质（重点）启示：概率为0，不一定是不可能事件。,{}()0aRPXafxdxaa(1)对,{}{}{}){}(baabPaXbPaXbPaXbPaXbfxdx(2)若则(),{}()fxxPxXxxfxx(3)如果在处连续则{}()xxxPxXxxfxdx()fxx2(9)331()0(1);(2){0},{11},{2}.例随机变量具有概率密度其它求常数求概率CxxXfxCPXPXPX:(1):()1fxdx-解由概率密度的定义32()(9)1fxdxCxdx--3136C021(2){0}(9)36PXxdx-330311(9)|3632xx12113{11}(9)3627PXxdx-13212{2}(9)3627PXxdx2均匀分布X落在(a,b)任意子区间的概率只与区间宽度有关，与区间的位置无关1axb0baXf(x)=其设连续型随机变量具有概率密度则称X服从(a,b)的均匀分布,记为它XU(a,b)说明：1dx+-(1)f(x)满足:f(x)0,f(x),dRlxbac+lc(2)对c,l如果,f(x则(c,c+l)(a,b)P(cXc+l)=)随机变量的分布函数分布函数的概念及其性质（重点）（1）连续型随机变量的取值无穷多且不可列，无法一一列举，不能用分布律描述它的统计规律。如灯的寿命、测量误差等1、引入分布函数的原因（2）非离散型随机变量取任一值的概率等于0，即P(X=x)=0.（3）对连续型随机变量，不太关心取某值的概率，更关心它落在某区域的概率。如灯炮的寿命超过多少、测量误差不超过多少等引入分布函数F(X)，既能描述随机变量落在某一区域的概率。又可将描述离散型、连续型随机变量的方法统一起来2、分布函数的概念（重点）（1）分布函数F(x)定义域为R，值域为[0，1]。F(x)=P{Xx,x}R,XX设为随机变量对称为随机变量的分布函数.表示为:XF(x).说明：xR,A={Xx}(2)对为一随机事件,F(x)即为随机变量X落在区间事件A发生的概(-,x]上率,即的概率.xR,P{Xx}=1-P{Xx}=1-F(x).(3)对分布函数F(x)可完整地描述随机变量的统计规律12122121xx(R),P{xx}=P{x}-P{x}=F(x)-F(x)XXX对3、分布函数的基本性质F(x)=P(Xx).X设为随机变量的分布函数0F(x)1xR,.limlim(2):对成立并且F(-)=F(x)=0F(+)=F(1有界=性x)xx2112F(x)-F(x)=P(xx)0X简证:1212xx(R),F(x)F(x).(1):对则单调性00limF(x)=F(xR,)F(x)00(3):对右连续在x处右连性续,即xxx注意：这三个性质也是判断某函数是否为分布函数的充要条件:,{}.lim{}xxXxXx几何意义时即4、分布函数的应用（重点）F(x)=P(Xx)X设为随机变量的分布函数,对ab(a,bR)P(aXb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a)iiXP(Xx)p(i=1,2,...)设离散型随机变量的分布律为:iiiiiixxxxP(XxP(Xx))pxxpF(x)=(满足的所有之和)11121223n0xxpxxx(x)ppxxx................1xxF...,12n假设随机变量X的所有可能取值从小到大分别为:xxx则,.ii图形特点:(1)函数,.(2分段连续阶梯形递增每个x处跳跃跳跃度为p右连续)在(3)左不连续.二、离散型、连续型X的分布函数1、离散型X的分布函数(2)P(X0.5)=F(0.5)=0.25X123P|0.250.50.25(2)例设离散型随机变量X的分布律为:求:(1)分布函数F(x),并画F(x)图形P(X0.5),P(1.5X2.5)(3)P(2X4),P(X=1.5)0x-10.25-1x2(x)0.250.52x30.25+0.5+0.25x3解:(1)FP(1.5X2.5)=F(2.5)-F(1.5)=0.75-0.25=0.5或者P(1.5X2.5)=P(X=2)=0.50x-10.25-1x20.752x31x3(3)P(2X4)=P(2X4)+P(X=2)=F(4)-=1-0.75+0F(2.5=)+0.50.75{X=2}{X或P(2X4)=P()=0.5+0.25==3}0.75P(X=1.5)=0,P(X=4)=0解:X的所有可能取值为-1,1,3.0x-10.4-1x12,.0.81x31x3例随机变量X分布函数F(x)求X分布律1F(-1-0)P(X)=F(-1)-=0.4-0=0.4P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4(2)P(0X4)=F(4)-=1-0.F(0-0)4=0.6{X=1}{X=3}或P(0X4)=P()=0.4+0.2=0.6i由此可见,离散型随机变量的.确定一个,则另一个也相应确定分布律p与分布函数F(x)一一对均可表示随机试验的统计应,规律.P(X=3)=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2X-113P0.40.40.22、连续型X的分布函数(),Xfx连续型随机变量概率密度为则-(1)(){}()xFxPXxfxdx0()limxxxxfxdxx0()()()limxFxxFxFxx0()lim()xfxxfxx(),()()fxxFxfx(3)如果在处连续则,{}()()()baabPaXbFbfxdFax