高中数学专题1.3.2函数的极值与导数试题新人教A版

1.3.2函数的极值与导数1．函数极值的概念若函数()yfx在点xa的函数值()fa比它在点xa附近其他点的函数值都小，()0fa；而且在点xa附近的左侧________，右侧________，就把点a叫做函数()yfx的极小值点，()fa叫做函数()yfx的极小值．若函数()yfx在点xb的函数值()fb比它在点xb附近其他点的函数值都大，()0fb；而且在点xb附近的左侧________，右侧________，就把点b叫做函数()yfx的极大值点，()fb叫做函数()yfx的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()yfx在0xx处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数()yfx在0xx处取得极值的充分条件是()fx在0xx两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数()yfx的极值的方法是：解方程()0fx．当0()0fx时：（1）如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是________；（2）如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是_________．K知识参考答案：1．()0fx()0fx()0fx()0fx2．0()0fx3．极大值极小值K—重点利用导数求函数极值的方法K—难点函数极值的应用K—易错对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0fx的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）．已知函数323()31fxaxxa（aR且0a），求函数()fx的极大值与极小值．【答案】见解析．【解析】由题设知0a，22()363()fxaxxaxxa．令()0fx得0x或2xa．当0a时，随x的变化，()fx与()fx的变化如下：x(,0)02(0,)a2a2(,)a()fx+0–0+()fx极大值极小值则3()(0)1fxfa极大值，2243()()1fxfaaa极小值．当0a时，随x的变化，()fx与()fx的变化如下：x2(,)a2a2(,0)a0(0,)()fx–0+0–()fx极小值极大值则3()(0)1fxfa极大值，2243()()1fxfaaa极小值．故3()1fxa极大值，243()1fxaa极小值．【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数21()ln(,)2fxaxxbxabR在12x，23x处取得极值．（1）求a，b的值；（2）求()fx在点(1,(1))Pf处的切线方程．【答案】（1）6a，5b；（2）42130xy．【解析】（1）由题可得2()axbxafxxbxx，令2()0xbxafxx，（2）21()6ln52fxxxx，则19(1)522f，得9(1,)2P．又由256()xxfxx，得(1)1562f．从而，得所求切线方程为92(1)2yx，即42130xy．1．函数()lnfaxxx在1x处取得极值，则实数a的值为A．0B．1C．12D．122．函数2n2)3l(fxxxx的极值点的个数是A．0B．1C．2D．无数个3．如图是()yfx的导函数的图象，现有四种说法：①()fx在(3,1)上是增函数；②1x是()fx的极小值点；③()fx在(2,4)上是减函数，在(1,2)上是增函数；④2x是()fx的极小值点．以上说法正确的序号为A．①②B．②③C．③④D．④4．函数()2cosfxxx在[0,π]上的极小值点为A．0B．π6C．5π6D．π5．设aR，若函数e,xyaxxR有大于零的极值点，则A．1aB．1aC．1eaD．1ea6．函数3()3fxxx的极小值为______________．7．已知函数32()(6)1fxaxxax有极大值和极小值，则实数a的取值范围是______________．8．已知函数2()2lnfxxx，求函数()fx的极值．9．已知函数2()e(3)xfxx．（1）求曲线()yfx在点(0,()0)f处的切线方程；（2）求函数()yfx的极值．10．设aR，若函数e2,xyaxxR有大于0的极值点，则A．1eaB．1eaC．12aD．12a11．已知函数21()ln2fxbxxx存在极小值，则实数b的取值范围为A．(2,)B．[2,)C．(0,2)D．(0,2]12．设函数()fx满足2e()2()xxfxfxxx，2(2e)8f，则当0x时函数()fxA．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值13．已知函数3221()3fxxaxaxb，当1x时，函数()fx的极值为712，则(2)f______________．14．已知函数2()lnfxaxbx在1x处有极值12．（1）求实数,ab的值；（2）判断函数()yfx的单调性并求出单调区间．15．已知函数()(1)exfxkx（e为自然对数的底数，e2.71828，kR）．（1）当0x时，求函数()fx的单调区间和极值；（2）若对于任意[1,2]x，都有()4fxx成立，求实数k的取值范围．16．（2017新课标全国II理）若2x是函数21()(1)exfxxax的极值点，则()fx的极小值为A．1B．32eC．35eD．117．（2017山东）已知函数3211(),32fxaxaxR．（1）当2a时，求曲线()yfx在点(3,()3)f处的切线方程；（2）设函数()()()cossingfxaxxxx，讨论()gx的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．18．（2017江苏）已知函数32()1(0,)fxxaxbxabR有极值，且导函数()fx的极值点是()fx的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23ba；（3）若()fx，()fx这两个函数的所有极值之和不小于72，求a的取值范围．1．【答案】B【解析】()1,(0,)af'xxx，函数在1x处取得极值，则()01f'，可得1a．故选B．2．【答案】A【解析】21621()62xxf'xxxx，由()0f'x可得26210xx，该方程无解，因此函数2n2)3l(fxxxx无极值点．故选A．4．【答案】C【解析】因为()2cosfxxx，所以()12sinfxx，令()0fx，得π6x或5π6x，由()0fx可得π5π66x；由()0fx可得π06x或5ππ6x，所以函数()2cosfxxx在区间π5π(,)66上为减函数，在区间π[0,)6和区间5π(,π]6上均为增函数，所以函数()2cosfxxx的极小值点为5π6．故选C．5．【答案】A【解析】因为e,xyaxxR，所以exya，由题意知，e0xa有大于0的实根，可得exa，因为0x，所以e1x，所以1a，故选A．6．【答案】2【解析】2()33xf'x，令()0f'x，得1x，当1x或1x时，()0f'x，当11x时，()0f'x，所以当1x时，函数()fx取极小值，且极小值是3()11213f．7．【答案】(,3)(6,)【解析】因为32()(6)1fxaxxax，所以2()326f'xaxax，又因为函数()fx有两个极值，所以()0f'x有两个不等的实数根，所以0，即2443(6)0aa，解得3a或6a．故实数a的取值范围是(,3)(6,)．9．【答案】（1）033yx；（2）3()6exf极大值，()2exf极小值．【解析】（1）由题意可得2()e(23)e(3)(1)xxf'xxxxx，故()30f'．又(30)f，故曲线()yfx在点(0,()0)f处的切线方程为xy33，即033yx．（2）由()0f'x可得1x或3x，()f'x，()fx随x的变化情况如下表所示，x(,3)3(3,1)1(1,)()f'x00()f'x↗极大值↘极小值↗3()(3)6exff极大值，()(1)2effx极小值．10．【答案】C【解析】函数e2,xyaxxR的导数为e2xya，函数e2,xyaxxR有大于0的极值点，即e20xa有大于0的实根，所以函数exy与函数2ya的图象在y轴右侧有交点，所以1212aa，故选C．11．【答案】A【解析】211()xbxf'xxbxx，因为()fx存在极小值，所以方程210xbx有两个不等的正根，设为1x，2x．故12122010240xxbxxbb，所以实数b的取值范围为(2,)，故选A．12．【答案】D【解析】由题意得23e2()()xxffxxx'，令2()e2()xhxxfx，则22ee(2)()e2[()2()]exxxxxhxfxfxxxxx，因此当(0,2)x时，()0hx；当(2,)x时，()0hx，故2222e()(2)e22(2)e2408hhfx极小值，因此当0x时，()0f'x恒成立，所以当0x时函数()fx既无极大值也无极小值，故选D．14．【答案】（1）1,12ab；（2）()fx的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)．【解析】（1）由题可得()2bfxaxx，则22011ln12abab，所以121ab．（2）由（1）可知21()ln2fxxx，则函数()fx的定义域为(0,)，211()xfxxxx，令()0fx，即210xx，解得1x或1x（舍去），当01x时，()0fx，()fx单调递减，当1x时，()0fx，()fx单调递增．所以函数()fx的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)．15．【答案】（1）当0k时，()fx的单调递增区间是(0,)，无单调递减区间，无极值；当0k时，()fx的单调递减区间是(0,)k，单调递増区间是(,)k，极小值为ek，无极大值；（2）22e8(,)e．（2）由()4fxx，可得(1)e40xxkx，因为e0x，所以41exxxk，即41exxkx对任意[1,2]x恒成立，记()1gxx4exx，则4(1)e4(1)()1eexxxxxxg，因为[1,2]x，所以()0gx