命题逻辑的推理理论

第三章命题逻辑的推理理论推理的形式结构自然推理系统P关于“推理”推理：指从前提出发推出结论的思维过程，前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1)正项级数收敛当且仅当部分和上有界.(2)若ACBD，则AB且CD.推理:从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明:描述推理正确或错误的过程.推理的形式结构定义设A1，A2，…，Ak，B都是命题公式,若对于A1，A2，…，Ak，B中出现的命题变项的任意一组赋值，A1A2…Ak均为假，或当A1A2…Ak为真时,B也为真,则称由A1,A2,…,Ak推B的推理正确,并称B是有效的结论；否则推理不正确（错误）.说明（1）：由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限公式集合，记为Г。可将由Г推B的推理记为Г┞B，若推理是正确的，则记为Г|=B，否则记为Г|B。这里可以称Г┞B和{A1，A2，…，Ak}┞B为推理的形式结构。说明（2）设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任一组赋值a1a2…an（ai＝0或1，i＝1，2，…n），前提和结论的取值情况有以下四种：（1）A1A2…Ak为0，B为0；（2）A1A2…Ak为0，B为1；（3）A1A2…Ak为1，B为0；（4）A1A2…Ak为1，B为1。由定义可知，只要不出现（3）中的情况，推理就是正确的，因而判断推理正确与否，就是判断是否会出现（3）中的情况。例3.1判断下列推理是否正确（1）{p，pq}┞q（2）{p，qp}┞q解：只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提为真，而结论为假的情况即可。由下面真值表可看出，（1）推理正确，（2）推理不正确。pqp（pq）q0000010110001111pqp（qp）q0000010110101111定理3.1命题公式A1，A2，…，Ak推B的推理正确当且仅当：（A1A2…Ak）为重言式。证明：必要性若命题公式A1，A2，…，Ak推B的推理正确，则不会出现A1A2…Ak为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式（A1A2…Ak）均为真，故为重言式。证明：充分性若蕴涵式（A1A2…Ak）为重言式，则对于任何赋值此重言式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况。即在任何赋值下，或者A1A2…Ak为假，或者A1A2…Ak和同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。分析：由定理3.1可知，可以将由前提A1,A2,…,Ak推B的推理的形式结构{A1A2…Ak}┞B转换成蕴涵式（A1A2…Ak）推理前提的合取式成了蕴涵式的前件，结论成了蕴涵式的后件，并将推理正确{A1A2…Ak}|＝B转换成A1A2…AkB其中是一种元语言符号，表示蕴涵式为重言式。判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法•主析取范式法•构造证明法说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便,此时采用形式结构“A1A2…AkB”.而在构造证明时，采用“前提:A1,A2,…,Ak,结论:B”.例3.2判断下面推理是否正确解上述类型的推理问题，首先应将简单命题符号化。然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。（1）设p：a能被4整除q：a能被2整除前提：pq，p结论：q推理的形式结构：（pq）pq可知此推理正确，即（pq）pq。（1）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被4整除，所以a能被2整除。（2）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除，所以a能被4整除。（2）设p：a能被4整除q：a能被2整除前提：pq，q结论：p推理的形式结构：（pq）qp可知上式不为重言式，所以此推理不正确，即（pq）pq。（3）下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了。（3）设p：马芳下午去看电影q：马芳下午去游泳前提：pq，p结论：q推理的形式结构：（（pq）p）q用等值演算法可知上市为重言式，所以，推理正确。（4）若下午气温超过30度，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影。所以，若王小燕没去看电影，下午气温必超过了30度。（4）设p：下午气温超过30度q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：pq，qr结论：rp推理的形式结构：（（pq）（qr））（rp）用主析取范式法可知上式不是重言式，所以推理不正确。重要的推理定律（重言蕴涵式）A(AB)附加律(AB)A化简律(AB)AB假言推理(AB)BA拒取式(AB)BA析取三段论(AB)(BC)(AC)假言三段论(AB)(BC)(AC)等价三段论(AB)(CD)(AC)(BD)构造性二难推理定律(续)(AB)(AB)(AA)B构造性二难（特殊形式）(AB)(CD)(BD)(AC)破坏性二难说明：(1)A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。(2)若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的.(3)AB产生两条推理定律:AB,BA.实例例判断下面推理是否正确(1)若今天是1号，则明天是5号.今天是1号.所以明天是5号.解设p：今天是1号，q：明天是5号.证明的形式结构为:(pq)pq证明（用等值演算法）(pq)pq((pq)p)qpqq1得证推理正确实例(续)(2)若今天是1号，则明天是5号.明天是5号.所以今天是1号.解设p：今天是1号，q：明天是5号.证明的形式结构为:(pq)qp证明（用主析取范式法）(pq)qp(pq)qp((pq)q)pqp(pq)(pq)(pq)(pq)m0m2m3结果不含m1,故01是成假赋值，所以推理不正确.重要的推理定律（重言蕴涵式）A(AB)附加律(AB)A化简律(AB)AB假言推理(AB)BA拒取式(AB)BA析取三段论(AB)(BC)(AC)假言三段论(AB)(BC)(AC)等价三段论(AB)(CD)(AC)(BD)构造性二难推理定律(续)(AB)(AB)(AA)B构造性二难（特殊形式）(AB)(CD)(BD)(AC)破坏性二难说明：A,B,C为元语言符号若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的AB产生两条推理定律:AB,BA3.2自然推理系统P判断推理是否正确的三种常用方法：1.真值表技术2.演绎法3.间接证明方法当命题变项较多时，以上三种方法的演算量太大，此时可考虑推理证明的方法。而要构造严谨的证明必须要在形式系统中进行。形式系统的定义一个形式系统I由下面四个部分组成：（1）非空的字母表，记做A(I)。（2）A(I)中符号构造的合式公式集，记做E(I)。（3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记做Ax(I)。（4）推理规则集，记做R(I)。可以将I记为4元组A(I),E(I),Ax(I),R(I)。其中A(I),E(I)是I的形式语言系统，而Ax(I),R(I)为I的形式演算系统。形式系统的分类（1）自然推理系统它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（可能是重言式，也可能不是）。（2）公理推理系统它的特点是只能从若干条给定的公理出发，应用系统中的推理规则进行演算，得到的是系统中的定理（是重言式）。定义3.3自然推理系统P定义如下：1、字母表（1）命题变项符号：p，q，r，……（2）联结词符号：,,,,（3）括号与逗号：（），，2、合式公式(参见定义1.6P10）3、推理规则推理规则（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以做为后续证明的前提。（3）置换规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后续证明的前提。推理规则（续）(4)假言推理规则ABA\B(5)附加规则A\AB(6)化简规则AB\A(7)拒取式规则ABB\A(8)假言三段论规则ABBC\AC推理规则(续)(11)破坏性二难推理规则ABCDBD\AC(12)合取引入规则AB\AB(9)析取三段论规则ABB\A(10)构造性二难推理规则ABCDAC\BD构造证明——直接证明法例3.3在自然推理系统P中构造下面推理的证明；（1）前提：pq，qr，ps，s结论：r（pq）（2）前提：pq，rq，rs结论：ps（1）前提：pq，qr，ps，s结论：r（pq）证明:(1)ps前提引入(2)s前提引入(3)p(1)(2)拒取式(4)pq前提引入(5)q(3)(4)析取三段论(6)qr前提引入(7)r(5)(6)假言推理(8)r（pq）(7)(4)合取（2）前提：pq，rq，rs结论：ps证明：(1)pq前提引入(2)pq(1)置换(3)rq前提引入(4)qr(3)置换(5)pr(2)(4)假言三段论(6)rs前提引入(7)ps(5)(6)假言三段论构造证明——直接证明法例3.4在自然推理系统P中构造下面推理的证明；若a是实数，则它不是无理数就是有理数。若a不能表示成分数，则它不是有理数。a是实数且它不能表示成分数。所以a是无理数。解：首先将简单命题符号化：p：a是实数。q：a是有理数。r：a是无理数。S：a能表示成分数。则可知：前提：p(qr)，sq，ps结论：r前提：p(qr)，sq，ps结论：r证明:(1)ps前提引入(2)p(1)化简(3)s(1)化简(4)p(qr)前提引入(5)qr(2)(4)假言推理(6)sq前提引入(7)q(3)(6)假言推理(8)r(5)(7)析取三段论构造证明——附加前提证明法欲证明前提：A1,A2,…,Ak结论：CB等价地证明前提：A1,A2,…,Ak,C结论：B理由：(A1A2…Ak)(CB)(A1A2…Ak)(CB)(A1A2…AkC)B(A1A2…AkC)B将C称为附加前提附加前提证明法例3.5在自然推理系统P中构造下面推理的证明。如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去。解：将简单命题符号化：p：小张去看电影q：小王去看电影r：小李去看电影s：小赵去看电影前提：（pq）r，sp，q结论：sr证明：(1)s附加前提引入()sp前提引入(3)p(1)(2)析取三段论(4)（pq）r前提引入(5)q前提引入(6)pq(3)(5)合取(7)r(4)(6)假言推理附加前提证明法(续)222例构造下面推理的证明:2是素数或合数.若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数.所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造