【高考数学一本通】2014届高中数学(理)一轮复习(课前热身)课件：第15章 第78讲 圆中的有关定

901.302 ABCCAACABC中，，，，求的外接圆的半径．VVRt23cos304.30322.ABCABACACABABcosABC的斜边就是其外接圆的直径．由，得所以的外接圆的半径解析：等于VV2.如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5，EC=4，求ED的长．解析：由切割线定理得AE2=EC×EB=4×(4+5)=36，所以AE=6.因为AE为切线，所以∠EAC=∠B.又∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠B+∠BAD.且∠CAD=∠BAD，所以∠EAD=∠EDA，所以DE=AE=6.3.(2011·江苏省扬州中学模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD.求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.解析：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP.又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.4.已知圆O的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(ADBD)．若CD=6，求AD的长．22212.90..6131336049.9.ACCBABOACBADxCDABCDADDBxxxxxxADBDADe如图，连接，因为是的直径，所以设因为，所以由直角三角形射影定理得，即，所以，解得，因为，所以解析：5.如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引⊙O的割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP.22..PAADADBDCDPADPDAPDDBDPDBDCDCPDBDPPDCBDPPDCDPBDCPVV因为与圆相切于，所以，因为为中点，所以，所以，即因为，所以∽，所以解析：圆的切线的判定..1   ABOBPOBOACOPPCOPCBADPBACDAODPOP12如图，是的直径，切于，的弦求证：是的切线；若切线和的延长线交于点，且等于的半径，则【例】【解析】(1)连结OC.因为AC∥OP，所以∠ACO=∠COP，∠CAO=∠POB.由OA=OC，得∠OAC=∠OCA，所以∠COP=∠POB.在△COP和△BOP中，,POPOCOPBOPCOBO所以△COP≌△BOP,所以∠PBO=∠PCO=90°，所以PC是⊙的切线.(2)由△COP≌△BOP，得∠DPO=∠OPB，所以.因为DA=OA=OB，所以又因为AD等于⊙O的半径，AC∥OP，所以,所以.PBBOPDOD12PBPD12ACDAOPDOPBACDPOP本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明，考查平面几何的推理论证能力.要证直线PC是⊙O的切线，只要证OC⊥PC即可；要求比例线段，可通过中间比来过渡，结合图形，利用条件即可获证.【变式练习1】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，作CM⊥AB，垂足为点M.求证：(1)DC是⊙O的切线;(2)AM·MB=DF·DA.【解析】连结OC，则∠OAC=∠OCA.又因为CA是∠BAF的角平分线，所以∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠OCA，所以OC∥AD.因为CD⊥AD，所以CD⊥OC，即CD是⊙O的切线.(2)连结BC.在Rt△ACB中，CM2=AM·MB.因为CD是⊙O的切线，所以CD2=DF·DA.又Rt△AMC≌Rt△ADC，所以CM=CD，所以AM·MB=DF·DA.切割线定理及其应用2222.ABDABCDABCDECTTCBFBECTBC如图，已知是半圆的直径，是上的一点，，交半圆于点，是半圆的切线，是切点，交半圆于，求证：【例】【解析】连结AE，AF.因为AB是圆O的直径，所以∠AEB=∠AFB=90°.又∠CDB=90°，∠ABC=∠DBF，所以△DBC∽△FBA,所以，即AB·BD=BC·BF.ABBFCBBD因为∠AEB=90°，CD⊥AB，所以BE2=BD·AB(直角三角形射影定理).因为CT是切线，CB是割线，所以CT2=CF·CB.所以BC2-CT2=BC2–CF·CB=BC·(BC-CF)=BC·BF,所以BE2=BC2-CT2，即BE2+CT2=BC2.有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方形式，考虑直角三角形射影定理.【变式练习2】如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.【解析】连结OF.因为DF切⊙O于F，所以∠OFD＝90°.所以∠OFC＋∠CFD＝90°.因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.【解析】因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB·DA.所以DE2＝DB·DA.四点共圆及其应用【例3】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF.证明：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.【解析】(1)在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD、CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，所以∠AHC=120°，所以∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B，D，H，E四点共圆.(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线.由(1)知，B，D，H，E四点共圆,∠CED=∠HBD=30°.又∠EBD=∠AHE=60°,由已知可得EF⊥AD,∠CEF=30°，所以CE平分∠DEF.本题是对考生几何推理论证能力的综合考查，所用到的知识较多，证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件，通过等量代换将角集中到一个四边形中，达到使用条件的目的.12.?.3OOMNAEMNABCDEABCDBCDE如图，与交于、两点，直线与这两个圆及依次交于、、、、【变式练习】求证：＝..··()().AMDNACCDMCCNBCCEMCCNACCDBCCEABBCCDBCCDDEABCDBCDE因为，，，四点共圆，所以同理，有所以＝，即，所以【证明】601.40(201.1)ABCOABCBACOEABEECOECe锐角三角形内接于，，，作交劣弧于点，连接，求南通期末卷»»».604080.80.8080160.10.OCABCBACACBOEABEABBEBCEOCOEC连接因为，，所以因为，所以为的中点，所以和的度数均为所以所以【解析】2.(2011·南通三模卷)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC.解析:因为AE=AC，AB为直径，故∠OAC=∠OAE.所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC.又∠EAC=∠PDE，所以∠PDE=∠POC.4cm3cm6cm.253c.mOABCDPPAPBPCEAOAAECDEAEPE如图所示，的弦、相交于点，，，，切于点，与的延长线交于点若，求的长．ee26432cm2082cm4cmPDPCPAPBPDPDEAOEAEDECEDEDEDPEe根据相交弦定理，得，所以，所以．因为是的切线，所以，所以，所以，则解析：．【解析】根据相交弦定理，得PD·PC=PA·PB，所以PD·6=4×3,所以PD=2(cm).因为EA是⊙O的切线，所以EA2=ED·EC，所以20=ED·(ED+8)，所以ED=2(cm),则PE=4(cm).4.已知⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D.经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F.求证：CE∥DF.【解析】如图，连结AB.因为四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，所以∠BAD=∠E.因为四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，所以∠BAD+∠F=180°.所以∠E+∠F=180°,所以CE∥DF....ABCCMACBAMCBCNACABBNAM1225在△中，已知是的平分线，△的外接圆交于点若，求证：....ABCCMACBACAMBCBMABAMACABBCBMBMABNCOBBABNBMBABNBCBCBMAMBNBNAMBMBM12222在△中，因为是的平分线，所以又已知，所以①又因为与是圆过同一点的割线，所以，即②由①【、②可知所证明，，】以1..2..圆周角定理及其推论主要应用于证明弦相等、弧相等、角相等和线垂直等圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理在证明、计算和作图中有着广泛的应用，是高考的必考内容，这几个定理既有联系又有区别，在复习时，应放在一起研究3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形.4.与圆有关的常用辅助线(1)有弦，可作弦心距；(2)有直径，可作直径所对的圆周角；(3)有切点，可作过切点的半径；(4)两圆相交，可作公共弦；(5)两圆相切，可作公切线；(6)两半圆，可作整圆.