第7章 特征值的估计

矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的，但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．第7章特征值的估计7.1特征值界的估计定理7.1.1(舒尔定理)设nnijCaA)(，A的特征值为n,,,21，则21,212||||FnjiijniiAa．（7.1.1）且等号当且仅当A为正规矩阵时成立．证明由舒尔定理，存在酉矩阵U使得TAUUH．其中T为上三角矩阵，T的对角线元素iit),,2,1(ni为A的特征值，于是nii12||221212||||||FjiijniiiniiiTttt．（7.1.2）由于在酉相似下矩阵的F范数不变，所以nii12||22FFAT．由（7.1.2）式知结论中等号成立当且仅当0||2jiijt．即T为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当A酉相似于对角阵，即A为正规矩阵．例7.1.1已知矩阵0100012323iiiA的一个特征值为2，估计其它两个特征值的上界．解记21，A的其它两个特征值为2，3，由定理7.1.1得2131222||||||ii25||||2131,2jiija，故5||2．同理可得5||3．事实上，由))(2)(1(||iAE知A的其它两个特征值为1，i．下面给出一些利用矩阵元素直接估计矩阵特征值上下界的方法，为便于表达，对于nnijCaA)(，记2)(HijAAbB，2)(HijAAcC，则B为Hermite矩阵，C为反Hermite矩阵，且CBA．设CBA,,的特征值分别为kk,，ki（),2,1,1nki，且满足||||||21n，n21，n21．定理7.1.2设nnijCaA)(，A的特征值为k),2,1(nk，则||max||,ijjikan，||max|Re|,ijjikbn，||max|Im|,ijjikcn．证明由定理7.1.1得2,21,2122||max||||||ijjinjiijniikana，即||max||,ijjikan．由舒尔定理，存在酉矩阵U使得TAUUH，HHHTUAU，其中T为上三角矩阵，T的对角线元素iit),2,1(ni为A的特征值，则有22HHHHTTUAAUBUU，22HHHHTTUAAUCUU，niik122|Re||Re|niii12|2|niiiiitt12|2|，niik122|Im||Im|niii12|2|niiiiitt12|2|．由于在酉相似下矩阵的F范数不变，所以niiiiitt12|2|njijiijt1,22||22FHTT2,22||maxijjiFbnB，niiiiitt12|2|njijiijt1,22||22FHTT2,22||maxijjiFcnC，所以2,22||max|Re|ijjikbn，2,22||max|Im|ijjikcn，两边开方即得结论．定理7.1.3设A为n阶实矩阵，则A的任一特征值k),,2,1(nk的虚部kIm满足||max2)1(|Im|,ijjikcnn．证明因为A为n阶实矩阵，所以0iic),,2,1(ni．由定理7.1.2的证明有nii12|Im|njiijc1,2||njijiijc1,2||2,||max)1(ijjicnn，由于实矩阵的特征多项式为实系数多项式，其复特征值必成对出现，则212|Im|2|Im|knii．所以2|Im|2k2,||max)1(ijjicnn，即||max2)1(|Im|,ijjikcnn．很明显，当A为n阶实矩阵时，用定理7.1.3估计特征值的虚部比用定理7.1.2效果好得多．例7.1.2设矩阵02.01.02.002.01.02.00A估计特征值的实部与虚部的范围．解设A的特征值为k)3,2,1(k，02HAAB，AAACH2．则由定理7.1.2得6.0||max3||,ijjika，0||max3|Re|,ijjikb，6.0||max3|Im|,ijjikc．所以，0Rek，6.0|Im|k．若用定理7.1.3可得3464.0||max2)13(3|Im|,ijjikc．实际上，09.02..01.02.02.01.02.0||3AE，得A的特征值为01，i3.02，i3.03．定理7.1.4设nnCA，kkkCB,,,,),,2,1(nk定义同上，则1Rekn，1Imkn．证明设A对应于特征值k的单位特征向量为)0(xx，即xAxk，1),(xxxxH，则有kHkHxxAxx．取共轭转置得kHHxAx，于是BxxxAAxHHHkkk22Re，CxxxAAxiHHHkkk22Im．因为CB,均为正规矩阵，所以存在酉矩阵U和V使得),,,(211nHdiagDBUU，),,,(212nHiiidiagDCVV，所以xUUDxBxxHHHk1Re，CxxiHkIm=xVVDxHH2．令TnHyyyxUy),,,(21，TnHzzzxVz),,,(21，则1xxxUUxyyHHHH，1zzzVVzzzHHHH，因此njjjHkyyDy121||Re，zDziHk21Imnjjjz12||．由于n21，n21，所以njjnny12||knjjjyRe||121121||njjy，njjnnz12||knjjjzIm||121121||njjz．定理7.1.4给出了矩阵特征值的实部与虚部的上下界估计，定理7.1.5则给出矩阵特征值模的上下界估计．定理7.1.5设nnCA，A的特征值为k),,2,1(nk，奇异值为nddd21，则1||ddkn．证明因为HAA为Hermite矩阵，且其特征值为22221,,,nddd，所以存在酉矩阵U使得diagDUAAUHH)(),,,(22221nddd．记HUAUB，则A与B有相同的特征值，且HHHHBBUUAUAUD，所以B的元素),,2,1,(njibij满足ijinkjkikdbb21),,2,1,(nji.设为B的任一特征值，则线性方程组0)(xBET，或inkkkixxb1),,2,1(ni（7.1.2）有非零解x，对（7.1.2）式取共轭得inkkkixxb1),,2,1(ni（7.1.3）（7.1.2）式与（7.1.3）式相乘得nkkkixb1iinkkkixxxb1．),,2,1(ni或iinsksksikixxxxbb1,，),,2,1(ni（7.1.4）对（7.1.4）式，令i从1到n求和得niiinsksknisikixxxxbb11,1)(，即niiiniiiixxxxd112，（7.1.5）又niiinxxd12niiiixxd12niiixxd121，（7.1.6）由（7.1.5）式与（7.1.6）式得1||ddkn．推论7.1.1酉矩阵的特征值的模均等于1．证明设A为酉矩阵，则EAAH，所以HAA的特征值12id),,2,1(ni，从而A的奇异值均为1，由定理7.1.5知A的特征值的模均等于1．定理7.1.6设nnijCaA)(，A的特征值为n,,,21，则211121)||(|det|||njniijniiaA.且等号成立当且仅当A的某一列全为零元素，或A的列向量两两正交．证明由线性代数知识知道||||1Anii．设),,,(21nA，若n,,,21线性相关，则0||A，结论显然成立．下面证明n,,,21线性无关时，结论成立．由施密特正交化方法，构造非零正交向量组n,,,21满足11,2211232131331212211nnnnnnnpppppp，（7.1.7）其中jHjjHiijp/)(ji．令),,,(21nB，则11111,2121nnnnppppBA，所以||||BA，又根据n,,,21两两正交及（7.1.7）式，即有211,112iiiiiipp21212iip2121,iiip2i，又||||||||2BBBBBHHnjj1221)(njj，因而||||BAnjj1njj121112)||(njniija．若A的某一列全为零元素，结论中等式显然成立．若A的列向量两两正交，则||||2AAAHnjj12njniija112)||(，即结论中等式成立．反之，若A的各列均不为零元素，且存在最小指标0i，使得00iHj)(0ij，则（7.1.7）式成为11,1111111100000000nnnnnniiijjiiiiipppp其中0/00jHjjHijip，于是．22000jjiiip22200jjiip20i．同前面推导类似，有||||BAnjj1njj121112)||(njniija，所以结论中等号成立当且仅当A的某一列全为零元素，或A的列向量两两正交．7.2圆盘定理定义7.2.1设nnijCaA)(，记},||{CzRazzSiiii，其中nijjijiiaARR1||)(（ni,,2,1），称iS为矩阵A在复平面上的第i个盖尔(Gerschgorin)圆，称iR为iS的半径（ni,,2,1）．上节介绍了利用矩阵的元素估计矩阵特征值的界，本节介绍利用矩阵的元素更准确地估计其特征值在复平面上的分布区域．定理7.2.1（圆盘定理1）设nnijCaA)(，则A的一切特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内，即A的任一特征值满足iniSS1．证明设为A的特征值，其对应的特征向量为)0(xx，即xAx，写成分量形式为njijijxxa1，（ni,,2,1）或nijjjijiiixaxa1)(．（ni,,2,1）（7.2.1）设tx为x的各分量中模最大的一个，则0tx，在（7.2.1）式中当ti时有ntjjjtjtttxaxa1)(，(7.2.2)(7.2.2)式的两边除以tx并取模得ntjjtjtjttxxaa1||||tntjjtjRa1||)(A，所以tS，即iniSS1．例7.2.1估计矩阵iA21.03.02.05.