中考数学总复习-专题基础知识回顾二-代数式

第1页（共27页）中考数学总复习专题基础知识回顾二代数式一、单元知识网络：二、考试目标要求：1．代数式①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.2．整式与分式①了解整数指数幂的意义和基本性质；②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)；③会推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)；⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.3．二次根式了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.第2页（共27页）三、知识考点梳理1．代数式(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们称为代数式．单个的数字或字母也可以看作代数式．(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来．(3)用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．2．整式(1)单项式：数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.(2)多项式：几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.(3)整式：单项式和多项式统称整式．(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．(5)整式的加减：整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负第3页（共27页）数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.(6)整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相第4页（共27页）加．(7)因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：3．分式(1)分式的意义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中分式无意义；分式有意义．分式的值为0A=0且这两个条件缺一不可．(2)最简分式：如果一个分式的分子、分母没有公因式，那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式)．如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分．(3)分式的基本性质：(4)分式的运算：第5页（共27页）①分式的加减：，．②分式的乘除：，．③分式的乘方：.4．二次根式：(1)二次根式的概念：式子叫做二次根式．是一个非负数.(2)二次根式的性质：(3)最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(4)二次根式的运算：①二次根式的乘除：②二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.四、规律方法指导对于整式、分式、二次根式等内容，中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查，旨在让我们探索灵活、简捷的解法，提高分析问题的能力.因此，在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想，提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发第6页（共27页）现规律的能力.经典例题透析类型一、整式的有关概念及运算1.同类项1．（1）（2010湖南衡阳）若3sm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm______________．考点：同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.思路点拨：同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.解：由3sm+5y2与x3yn的和是单项式得3sm+5y2与x3yn是同类项，∴解得nm=2-2=（2）若单项式是同类项，则的值是()A、-3B、-1C、D、3解：由题意单项式是同类项，所以，解得，，应选C.总结升华：判断两个单项式是否同类项或已知两个单项式是同类项，需满足：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也相同.2.整式的运算及整式乘法公式的运用2．(1)（2010湖北咸宁）下列运算正确的是()A．B．C．D．分析：A.2-3=8B.C.正确D.答案：C(2)下列各式中正确的是()A．B．a2·a3=a6C．(-3a2)3=-9a6D．a5+a3=a8第7页（共27页）考点：整数指数幂运算.分析：选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A.3．计算：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)解：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)=a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a=5a-64．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)思路点拨：利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.解：(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则(a+b+c)2==a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，原式==4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.举一反三【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.解析：解法一：利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9.解法二：利用一元二次方程根的判别式，若a2+ma+9是一个完全平方式，则关于a的一元二次方程a2+ma+9=0有两个相等的实数根，第8页（共27页）∴Δ=0，即m2-36=0，m=±6.解法三：利用配方法，a2+ma+9=a2+ma，∵是一个完全平方式，∴，∴m2=36，m=±6.【变式2】设，则=__________.思路点拨：本题利用乘法公式恒等变形，及互为倒数的运算性质.解：∵，两边平方得，，∴，【变式3】用相同的方法可以求，等的值.总结升华：此题是反复运用完全平方公式，把，变形为关于的代数式，从而使问题得到解决.这是利用条件求值问题的一个基本思路.【变式4】若a2+3a+1=0，求的值.思路点拨：有上题做铺垫，我们可以想到将a2+3a+1=0变形为的形式，∵a≠0，将等式两边同时除以a，第9页（共27页）得，∴，∴.类型二、因式分解5．因式分解：（1）（2010四川眉山）把代数式分解因式，下列结果中正确的是（）A．B．C．D．考点：运用提取公因式法和公式法因式分解.思路点拨：提公因式法、公式法分解因式答案：D（2）①3a3-6a2+12a；②(a+b)2-1；③x2-12x+36；④(a2+b2)2-4a2b2思路点拨：把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.解：①3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)②(a+b)2-1=(a+b)2-12==(a+b+1)(a+b-1)③x2-12x+36=(x-6)2④思路点拨：4a2b2可写成(2ab)2，可先用平方差公式进行因式分解为(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)，两个括号里又符合完全平方公式，还应继续分解直到不能分解为止.(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2举一反三【变式1】因式分解：(1)；(2)；(3).解：(1)第10页（共27页）(2)(3)总结升华：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法.分解因式一定要分解到不能分解为止.类型三、分式的意义及运算1.分式的意义及分式值为零6．（1）（2010湖北荆州）分式的值为０，则（）A．ｘ＝－１B．ｘ＝１C．ｘ＝±１D．ｘ＝０思路点拨：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零.答案：B（2）（2010山东聊城）使分式无意义的x的值是（）A．x=B．x=C．D．答案：B（3）当x取何值时，分式有意义？分式的值等于零？第11页（共27页）解：当分母，即且时，分式有意义.根据题意，得由＜1＞解得：x=1或x=2由＜2＞解得且所以，当x=2时，分式的值等于零.总结升华：(1)讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论；(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行；(3)在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件.举一反三【变式1】已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0，则a+b=______________.考点：分式无意义及分式值为0的条件.解：当x=-2时，分式为；分式无意义，可得：-2+a=0，即a=2.当x=4时，分式为；分式值为0，可得：，即b=4.所以a+b=6.2.分式的运算7．（1）（2010重庆）先化简，再求值：，其中.考点：分式的混合运算.解：原式．第12页（共27页）当时，．（2）计算.思路点拨：此题是加减乘除混合运算，有两种运算顺序，其一是规定顺序，先将括号内的两分式通分相减得：，再将分式的分子、分母颠倒与之相乘.其二是按乘法对加法的分配律，先把的分子、分母颠倒与被减数，减数相乘，再相减.两种顺序哪一种简单，要看题目中式子特点确定.解题过程如下：解法1：原式；解法2：原式.举一反三【变式1】先化简，再求值：，其中满足.解：=或当时，分式无意义.原式的值为2.总结升华：此题需注意所求得的x值需满足分式有意义，此处经常会被同学们忽视，要引起注意.第13页（共27页）【变式2】先化简，再求值：()÷，其中x=20