高中数学选修2-2各章节课时同步练习及详解

-1-选修2-21.1第1课时变化率问题一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx()A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零[答案]D[解析]Δx可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]D[解析]由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为()A．3B．0.29C．2.09D．2.9[答案]D[解析]f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f(－0.9)－f(－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为()A．2B．2.3C．2.09D．2.1[答案]B[解析]f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.∴kAB＝f(1.3)－f(1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为()A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2·Δx[答案]B[解析]∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)-2-＝－2Δx－(Δx)2，∴f(2＋Δx)－f(2)2＋Δx－2＝－2－Δx，故应选B.6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2[答案]C[解析]ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝[(1＋Δx)2＋1]－2Δx＝2＋Δx.故应选C.7．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A．6.3B．36.3C．3.3D．9.3[答案]A[解析]S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度v＝S(3.3)－S(3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案]B[解析]Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11＋Δx＝－1013.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是()A．v0B.Δts(t0＋Δt)－s(t0)C.s(t0＋Δt)－s(t0)ΔtD.s(t)t[答案]C[解析]由平均变化率的概念知C正确，故应选C.-3-10．已知曲线y＝14x2和这条曲线上的一点P1，14，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()A.1＋Δx，14(Δx)2B.Δx，14(Δx)2C.1＋Δx，14(Δx＋1)2D.Δx，14(1＋Δx)2[答案]C[解析]点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝14(Δx＋1)2，故应选C.二、填空题11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝________.[答案](Δx)2＋6Δx＋12[解析]ΔyΔx＝(2＋Δx)3－2－(23－2)Δx＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12ΔxΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x＝2附近，Δx＝14时，函数y＝1x的平均变化率为________．[答案]－29[解析]ΔyΔx＝12＋Δx－12Δx＝－14＋2Δx＝－29.13．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝12时的平均变化率为________．[答案]6－2[解析]ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1＝6－2.14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．[答案]54.1[解析]当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝ΔyΔx＝(2＋Δx)2－1－22＋1Δx＝(2＋1)2－221＝5.-4-当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝ΔyΔx＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．[解析]函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为f(－1)－f(－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为f(5)－f(0)5－0＝2.函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为g(－1)－g(－3)－1－(－3)＝－2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为g(5)－g(0)5－0＝－2.16．过曲线f(x)＝2x2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝14时割线的斜率．[解析]割线AB的斜率k＝(2＋Δy)－2(1＋Δx)－1＝ΔyΔx＝2(1＋Δx)2－2Δx＝－2(Δx＋2)(1＋Δx)2＝－7225.17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？[解析]在x＝2附近的平均变化率为k1＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f(3＋Δx)－f(3)Δx＝(3＋Δx)2－32Δx＝6＋Δx.对任意Δx有，k1＜k2＜k3，-5-∴在x＝3附近的平均变化率最大．18．(2010·杭州高二检测)路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．[解析](1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝f(x)＝14x.(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝14×14－14×0＝72.所以f(x2)－f(x1)x2－x1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为14.选修2-21.1第2课时导数的概念一、选择题1．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案]C[解析]由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()-6-A．6B．18C．54D．81[答案]B[解析]∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．2＋ΔxD．1[答案]B[解析]∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为()A．37B．38C．39D．40[答案]D[解析]∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案]C-7-[解析]由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即()A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案]D[解析]由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于()A．4aB．2a＋bC．bD．4a＋b[答案]D[解析]∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线[答案]D[解析]当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()A．0B．3C．－2D．3－2t[答案]B[解析]∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→af(x)－f(a)x－a等于()A．－1aB.2a-8-C．－1a2D.1a2[答案]C[解析]limx→af(x)－f(a)x－a＝limx→a1x－1ax－a＝limx→aa－x(x－a)·xa＝－limx→a1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案]－11，－112[解析]limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案]0[解析]∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案]2[解析]∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝a.∴a＝2.-9-14．已知f′(x0)＝limx→x0f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→32x－3f(x)x－3的值是________．[答案]8[解析]limx→32x－3f(x)x－3＝limx→32x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→32x－3