【金榜同步】高中数学北师大版选修1-1课时提升卷(25)第4章-§2--2.2-最大值、最小值问题]

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升卷(二十五)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分，共30分)1.(2013·哈尔滨高二检测)设函数f(x)=3x-4x3(x∈[0，1])，则f(x)的最小值是()A.1B.1.5C.0D.-12.已知f(x)=x2-cosx，x∈[-1，1]，则导函数f′(x)是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A.45.606万元B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元4.函数y=x-sinx，x∈[，π]的最大值是()A.π-1B.-1C.πD.π+15.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m，n∈[-1，1]，则f(m)+f′(n)的最小值是()A.-13B.-15C.10D.15二、填空题(每小题8分，共24分)6.已知f(x)=2x3-6x2+3对任意的x∈[-2，2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为.7.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为cm.8.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p=24200-x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x(元).问该厂每月生产吨产品才能使利润达到最大，最大利润是.三、解答题(9题，10题14分，11题18分)9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l：3x-y+1=0，若x=时，y=f(x)有极值.(1)求a，b，c的值.(2)求y=f(x)在[-3，1]上的最大值和最小值.10.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?11.(能力挑战题)设函数f(x)=lnx-ax2-bx.(1)当a=b=时，求f(x)的最大值.(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0x≤3)，其图像上任意一点P(x0，y0)处的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选D.f′(x)=3-12x2=3(1+2x)(1-2x).令f′(x)=0，得x=或x=-(舍去)，又当x=时，f(x)取极大值，又f(0)=0，f(1)=3-4=-1，∴f(x)min=f(1)=-1.2.【解析】选D.f′(x)=x+sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)=f′(x)，则h(x)=x+sinx，求导得h′(x)=1+cosx.当x∈[-1，1]时，h′(x)0，所以h(x)在[-1，1]上是增加的，有最大值和最小值.所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.3.【解析】选B.设在甲地销售x辆车，则在乙地销售(15-x)辆汽车；总利润L(x)=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30，令L′(x)=-0.3x+3.06=0，得x=10.2，∴L(10)=-0.15×100+3.06×10+30=45.6(万元).4.【解析】选C.y′=1-cosx，又x∈[，π]，y′0，∴ymax=π-sinπ=π.5.【解析】选A.求导得f′(x)=-3x2+2ax，由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0，即-3×4+2a×2=0，∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4，f′(x)=-3x2+6x，易知f(x)在(-1，0)上是减少的，在(0，1)上是增加的，∴当m∈[-1，1]时，f(m)min=f(0)=-4.又f′(x)=-3x2+6x的图像开口向下，且对称轴为x=1，∴当n∈[-1，1]时，f′(n)min=f′(-1)=-9.故f(m)+f′(n)的最小值为-13.6.【解析】由f′(x)=6x2-12x=0，得x=0，或x=2.又f(-2)=-37，f(0)=3，f(2)=-5，∴f(x)max=3，又f(x)≤a，∴a≥3.答案：[3，+∞)7.【解析】设圆锥的高为xcm，则V=π(202-x2)·x=-πx3+πx，∴V′(x)=-πx2+π，令V′(x)=0，得x=.答案：8.【解题指南】利润=收入-成本.求导数为0的x值，再判断极值与最值的关系.【解析】每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200-x2)x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0)，由f′(x)=-x2+24000=0，解得：x=200或x=-200(舍去).因为f(x)在[0，+∞)内只有一个点x=200使得f′(x)=0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)=-×2003+24000×200-50000=3150000(元).答案：2003150000元9.【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，得f′(x)=3x2+2ax+b.当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0.①当x=时，y=f(x)有极值，则f′()=0，可得4a+3b+4=0.②由①②解得a=2，b=-4.由于切点的横坐标为x=1，∴f(1)=4，∴1+a+b+c=4，∴c=5.∴a=2，b=-4，c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5，∴f′(x)=3x2+4x-4，令f′(x)=0，得x1=-2，x2=.列表：x-3(-3，-2)-2(-2，)(，1)1y′+0-0+y8↗13↘↗4∴y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为.【举一反三】若将题目中的切线方程改为3x+y+1=0，求a，b，c的值.【解析】由f(x)=x3+ax2+bx+c，得f′(x)=3x2+2ax+b，当x=1时，切线l的斜率为-3，可得2a+b=-6.①当x=时，y=f(x)有极值，则f′()=0，可得4a+3b+4=0.②由①②解得a=-7，b=8.由于切点的横坐标为x=1，∴f(1)=-4，∴1+a+b+c=-4，∴c=-6.∴a=-7，b=8，c=-6.10.【解析】根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，∵BD=40，AC=50-x，∴BC==，又设总的水管费用为y元，依题意有：y=3a(50-x)+5a(0x50)，y′=-3a+，令y′=0，解得x=30.在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30处取得最小值，此时AC=50-x=20(km).∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.【拓展提升】费用(用材)最省问题的解题技巧选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，把实际问题转化为数学问题.正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.11.【解析】(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，+∞).当a=b=时，f(x)=lnx-x2-x，f′(x)=-x-=，令f′(x)=0，解得x=1或x=-2(舍去).当0x1时，f′(x)0，f(x)是增加的；当x1时，f′(x)0，f(x)是减少的.所以f(x)的极大值为f(1)=-，即f(x)的最大值是-.(2)F(x)=lnx+，x∈(0，3]，则有k=F′(x0)=≤在(0，3]上恒成立，所以a≥(-+x0)max，当x0=1时，-+x0取得最大值，所以a≥.关闭Word文档返回原板块