静电场中的导体与电介质

R1R2OP+q图6-1(a)P图6-1(b)-q3RRO图6-2一、选择题1．如图6-1(a)所示，一个原来不带电的导体球壳，内半径为R1，外半径为R2，其圆心O处放置一个点电荷q。现将q由O点移至P点，则在下列说法中，正确的是：A．在1Rr的区域内，各点的电场强度要发生变化，而2Rr的区域电场强度不变；B．球壳内、外表面的感应电荷分布没有变化；C．球壳内表面的感应电荷不再均匀分布，外表面不受影响；D．球壳内、外表面的感应电荷不再均匀分布。（A、C）[知识点]静电感应、感应电荷的分布。[分析与解答]导体球壳内放入点电荷+q，球壳内表面要感应出－q，外表面将感应出+q的电荷。由于点电荷+q在球壳内由O点移到P点，球壳内表面距离点电荷+q（P点）近的地方，感应电荷的密度大，距离点电荷+q（P点）远处的地方，感应电荷的密度小，即球壳内表面－q的分布将不均匀；而对于球壳外表面来说，其内部（指内表面和点电荷）有等量异号的电荷，由于屏蔽，其电场将完全不影响壳外电场，外表面又是球面，因此外表面感应电荷+q分布均匀，如图6-1(b)所示。由点电荷电场强度公式知，当点电荷+q在O点时，其电场为球对称分布，而移到P点后，在1Rr区域内，距离P点近的场点电场强度要大，远场点电场强度要小，在2Rr，由高斯定理知为球对称分布电场，与点电荷+q放置在O点时一致。2．如图6-2所示，一金属球半径为R，带电Q，距球心为3R处有一点电荷q。现将金属球接地，则金属球面上的电荷为：A．0；B．qQ；C．3q；D．q。（C）[知识点]外壳接地后电势叠加为零。[分析与解答]接地后金属球为等势体0U则球心电势00U由电势叠加原理知，球心电势是点电荷－q和金属球面上剩余电荷Q叠加的结果，即0434000RQRqUUUQq得金属球面上的剩余电荷为3qQ+QO图6-3(a)+QO图6-3(b)EC1C2图6-83．如图6-3(a)所示的两个金属球，大球带电+Q，半径为R，小球不带电。在下列说法中，正确的是：A．小球左端有感应电荷Q，右端有Q。因此，右端的电势高于左端；B．小球为等势体，且电势大于零；C．大球的电荷均匀分布在其表面，大球外任一点的电场强度rrQeE2041；D．若将小球接地，则小球必带负电荷。（B、D）[知识点]静电平衡特点。[分析与解答]小球的感应电荷及电场线如图6-3(b)所示。小球处在带电金属大球产生的电场中，小球左端有静电感应负电荷，右端有等量感应正电荷，但小球是静电平衡的导体球，应为等势体。由于大球带正电，电场线伸向无穷远，而0U，而在静电场中，电势沿电场线方向降低，则知小球电势大于零。由于小导体球的存在，使大球表面电荷分布不均匀，大球外任一点的场强是由大球表面和小球表面上所有点电荷场强矢量叠加的结果。若将小球接地，小球球心电势0OU，其电势是由大球表面电荷+Q和小球表面剩余电荷Q共同叠加的结果，则可知Q必与+Q异号，即为负电荷。4．如图6-8所示，将两个完全相同的空气电容器串联起来，在电源保持连接时，再将一块各向同性均匀电介质板插入其中一个电容器C2的两极板间，则插入介质前后电容器C2的电场强度E、电容C、电压U、电场能量W4A．E↑、C↑、U↑、W↑；B．E↑、C↑、U↓、W↓；C．E↓、C↑、U↓、W↓；D．E↓、C↑、U↑、W↑。（C）[知识点]介质对E、C、U、W的影响。[分析与解答]设电容器极板面积为S，板间距为d。充介质前电容器C2的电容为dSC020充介质前的等效电容dSdSdSdSdSCCCCC200000201020100串联电容器各极板电量相同，充介质前极板的带电量UdSUCQ2000充介质前电容器C2的极板间电势差220020020UdSUdSCQU充介质前电容器C2的极板间的场强dUdUE22020充介质前电容器C2的电场能量20202020821UdSCQW充介质后电容器C2的电容为dSCr02，可见C↑。充介质后的等效电容dSdSdSdSdSCCCCCrrrr000002121)1(充介质后极板的带电量UdSCUQrr0)1(充介质后电容器C2的极板间电势差200022121)1(UUdSUdSCQUrrrrr由于1r，可见U↓。充介质前电容器C2的极板间的场强202212EdUEr，可见E↓。充介质后电容器C2的电场能量22221CQW202202)1(48)1(4WUdSrrrr由于1r，可见W↓。5．如图6-5所示，一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为d处（Rd），固定一电量为q的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点，则球心O处的电势为：A．0；B．dq04；C．Rq04；D．)11(40Rdq。（D）[知识点]接地的影响与分析。[分析与解答]依题意，导体球壳内表面有分布不均匀的－q电荷。对于球壳外表面，接地前，由于屏蔽，外表面会出现分布均匀的感应电荷+q，与图6-1(b)相同；但接地后，球壳外表面将不再带电。根据电势叠加原理，球心O处的电势210UUU其中1U为点电荷q在O点处产生的电势dqU0142U为球壳内表面感应电荷－q在O点处产生的电势RqRqRqUU000244d4dd则球心O处的电势为RdqU11400二、填空题1．一带电量为q、半径为R的薄金属球壳，内部充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，壳外是真空，则此球壳的电势为URq04，其电容为C=R04。[知识点]电势U和电容C的计算。[分析与解答]由高斯定理0dqSD，可知当Rr时，qDr24，则24rqD由于壳外是真空，则2004rqDE则球壳电势为RRrEUddrErrqRd420Rq04其电容RUQC04x12PAB图6-92．一平行板电容器两极板间充满相对电容率为4r的均匀电介质，其两极板间电压为V5000U，电介质的厚度为mm5d，则电介质中电场能量密度的表达式为ew22002dUr，其值为ew0.177J/m3。[知识点]平板电容器的电场能量密度。[分析与解答]平板电容器的电容为dSCr0电容器电场能量为200202121UdSCUWr则电场能量密度为2200200221dUSdUdSVWwrre代入)m/(NC10858222120.，4r，V5000U，m0050.d，则3J/m1770.ew3．如图6-9所示，一无限大均匀带电平面A附近放置一与之平行的无限大导体平板B。已知带电平面A的电荷面密度为，则导体板B两表面1和2的感应电荷面密度分别为12和22。[知识点]静电平衡，场强叠加原理。[分析与解答]设导体平板两侧感应电荷面密度分别为1，2。在导体板中任选一点P，由静电平衡条件知0PE。即三个无限大带电平面在该点的场强迭加为零。如图6-9选择参考方向，有022202010（1）又由电荷守恒定理知02221SS（2）S为平面面积。二式相加得021所以21，224．如图6-11所示，半径为R的导体球A，带电Q，球外套一内半径为R1、外半径为R2的同心ABQⅣⅠⅡⅢR1R2RO图6-11球壳B，设r1、r2、r3、r4分别代表图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ区域内任一点至球心O的距离，则（1）若球壳B为导体时，各点电位移D的大小分别为：1D0；2D224rQ；3D0；4D244rQ。（2）若球壳B为相对电容率为r的介质时，各点电场强度E的大小分别为：1E0；2E2204rQ；3E2304rQr；4E2404rQ。[知识点]D与E的计算。[分析与解答]（1）导体球A的电荷将均匀分布在其表面上，球壳B内外表面会由于静电感应有-Q和+Q的电荷。在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域分别作四个半径分别为1r，2r，3r，4r的同心球形高斯面。由高斯定理可知02π4dqrDSSDRr1区域：01D01E12RrR区域：2224rQD22024rQE231RrR区域：03D03E2Rr区域：2444rQD24044rQE（2）若将导体球壳换成介质球壳，导体球A的电荷仍将均匀分布在其表面上，而在B球壳上有极化电荷产生，则由高斯定理知：01D，24324rQDDD故1E、2E、4E形式不变，而2034rQEr。三、计算题1．莱顿瓶是早期的一种储电电容器，它是一内、外都贴有金属薄膜的圆柱形玻璃瓶。设莱顿瓶内半径为cm4R，玻璃厚度为mm2r，内外所贴金属膜高度为cm40h。已知玻璃的相对电容率为05.r，其击穿场强是mV10517.kE。如果不考虑边缘效应，试求：（1）莱顿瓶的电容值；（2）它能储存的最大电荷量。PQR1R2ROr图6-13[分析与解答]（1）设内、外金属薄膜圆筒半径分别为R1和R2，高度均为h，其上分别带有电量+Q和-Q。则由介质场中的高斯定理得hrQD2)(21RrR玻璃内的场强为hrQEr02内、外筒之间的电势差为1200lnπ2dπ2dd212121RRhQrrhQrEUrRRRRrRRrE莱顿瓶的电容为F10282ln29120.RRhUQCr（2）由莱顿瓶间场强分布知，圆柱形电容器两金属膜之间场强以靠近内膜处场强为最大，令该处场强等于击穿场强，即krEhRQRE1012)(则krEhRQ102maxC106765.此即所能储存的最大电量。2．如图6-13所示，半径为R、带电为Q的导体球，球外套一个内半径为R1，外半径为R2的同心介质球壳（介质的相对电容率为r）。试求：（1）电场强度的分布；（2）P点的电势PU；（3）介质球壳中储存的能量。[分析与解答]（1）由于电场分布具有球对称性，根据介质场中的高斯定理：SSiQ)(SD内d，有当Rr时，由于导体内电场强度处处为零，则01E；当RrR1时，QrD24，24rQD，2024rQE；当12RrR时，QrD24，24rQD，2034rQEr；当2Rr时，QrD24，24rQD，2044rQE。（2）P点的电势为PPUlEd即drEdrEdrEdrEURRRRRRrPp22114321=)(22110111114RRRRRQrr（3）能量密度为23021Ere在介质球壳中，取半径从r到drr之间球壳的体积为体积元，则drrdV24介质球壳中储存的能量为VeedVwW)11(84)4(221022220021RRQdrrrQrrRRr