第一章矩阵-练习6

例1.劲度系数为和的两根弹簧，与质量为m的小球按图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．1k2k解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧的等效倔强系数为等效位移为，则有21FFF串Kx111xkFxkF串222xkF又有21xxx2211kFkFkFx串所以串联弹簧的等效倔强系数为2121kkkkk串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为2121)(222kkkkmkmT串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有即，设并联弹簧的倔强系数为，则有21FFF21xxx并k2211xkxkxk并故21kkk并同上理，其振动周期为212kkmT例2.一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：(2)过平衡位置向正向运动；(3)过处向负向运动；2Ax(4)过处向正向运动．2Ax(1)Ax0；试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为0000sincosAvAx(1)00cosAAx001costTAx2cos(2)0sin0sin2cos0000000AvAx2022costTAx同理（3）32cos30tTAx（4）452cos450tTAx此题也可用旋转矢量法解:oxAAA(1)当时Ax0与轴的夹角为Ax0(2)当时00x与轴的夹角为Ax2200voxAAAA0v0voxAAAAv(3)当时20Ax与轴的夹角为Ax3300voxAAAAv(4)当时20Ax与轴的夹角为Ax434300v例3.图为两个谐振动的xt曲线，试分别写出其谐振动方程．解：由图(a)，∵t=0时，s2,cm10,,230TA又,0,000vx即1srad2T故m)23cos(1.0txa由图(b)∵0t时，35,0,2000vAx11t时，22,0,0111vx又253511∴65故mtxb)3565cos(1.0例4.一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底高度h处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．解：(1)空盘的振动周期为，落下重物后振动周期为，即增大．kM2kmM2kmgx00)(2vMmghmMmghmv20(2)按(3)所设坐标原点及计时起点,t=0时，则.碰撞时，以m,M为一系统动量守恒，即于是gMmkhkmgMmghmkmgvxA)(21))(2()()(2222020（3）gmMkhxv)(2tan000(第三象限)，gmMkhtMmkgMmkhkmgx)(2arctancos)(21所以振动方程为例5.一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。m)652cos(3.0m)62cos(4.021txtx解：∵)65(621∴m1.021AAA合3365cos3.06cos4.065sin3.06sin4.0coscossinsintan22122211AAAA6其振动方程为m)62cos(1.0tx旋转矢量作图法:ox1A2A由图可见两矢量方向相反,故相位差21所以合振幅为:mAAA1.021合因合振幅与方向相同,所以初位相也与相同为合A1A601A旋转时角频率不变为2mtx62cos1.0例6.一物体放在水平木板上,这木版以的频率沿水平直线作简谐运动,物体和水平木板之间的静摩擦系数,求物体在木板上不滑时的最大振幅.Hzv250.0smaxA解:设物体在水平木板上不动.mafx水平方向0mgN竖直方向Nfsx且tAacos2又gmmgassMaxmvggAss031.04222max