2014年北京高考数学理科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合2{|20}Axxx，{0,1,2}B，若AB(A){0}(B){0,1}(C){0,2}(D){0,1,2}(2)下列函数中，在区间(0,}上为增函数的是(A)1yx(B)2=(1)yx(C)2xy(D)0.5log(1)yx(3)曲线1cos2sinxy，（为参数）的对称中心(A)在直线2yx上(B)在直线2yx上(C)在直线1yx上(D)在直线1yx上(4)当7m,3n时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)7(B)42(C)210(D)840(5)设{}na是公比为q的等比数列，则“1q”是“{}na”为递增数列的(A)充分且不必要条件(B)必要且不充分条件(C)充分且必要条件(D)既非充分也非必要条件(6)若,xy满足20200xykxyy且zyx的最小值为4，则k的值是(A)2(B)2(C)12(D)12否开始输出S,1kmSSSk1kk结束是1kmn输入m,n的值(7)在空间坐标系Oxyz中，已知(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，(1,1,2)D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx则坐标平面上的正投影图形的面积，则(A)1S=2S=3S(B)1S=2S且31SS(C)1S=3S且32SS(D)2S=3S且13SS(8)有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)复数211ii_____．(10)已知向量a、b满足||1a，(2,1)b且0ab，则||_____．(11)在设曲线C经过点(2,2)，且2214yx具有相同渐近线，则C的方程是．(12)若等差数列{}na满足7890aaa，7100aa，则当n______时，{}na的前n项和最大．(13)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种．(14)设函数()sin()fxAx（,,A是常数，0,0A），若()fx在区间[,]62上具有单调性，且2()()-()236fff，则()fx的最小正周期为．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。(15)（本小题13分）如图，在ABC中，3B，8AB，点D在BC边上，且CD=2，1cos7ADC（Ⅰ）求sinBAD．（Ⅱ）求BD，AC的长．(16)（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比()EX和x的大小。BACD(17)（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM和MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为PE的中点，平面ABC与棱PD，PC分别相较于点G、H．（Ⅰ）求证：//ABFG；（Ⅱ）若PA平面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段PH的长(18)（本小题13分）已知函数()cossinfxxxx，[0,]2x（Ⅰ）求证：()0fx；（Ⅱ）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值．EDCMFBAPHG(19)（本小题14分）已知椭圆C：2224xy．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线2y上，且OAOB，求直线AB与圆222xy的位置关系，并证明你的结论．(20)（本小题13分）对于数对序列11(,)Pab，22(,)ab，…，(,)nnab，记111()TPab,112()max{(),}kkkkTPbTPaaa(2)kn，其中112max{(),}kkTPaaa表示1()kTP和12kaaa两个数中最大的数．（Ⅰ）对于数对序列(2,5)P，(4,1)，求1()TP，2()TP；（Ⅱ）记m为四个数a、b、c、d的最小值，对于两个数对(,)ab，(,)cd组成的数对序列(,)Pab，(,)cd和'(,)Pcd，(,)ab，试分别对ma和mb时的情况比较2()TP和2(')TP的大小；（Ⅲ）在由5个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的有序数对序列中，写出一个数对序列P使5()TP最小，并写出5()TP的值（只需写出结论）。绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）5（11）221312xy2yx（12）8（13）36（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在ADC中，因为17COSADC，所以43sin7ADC。所以sinsin()BADADCBsincoscossin4311333727214ADCBADCB（Ⅱ）在ABD中，由正弦定理得338sin143sin437ABBADBDADB，在ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCABBCB22185285492所以7AC（16）（共13分）解：（I）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。则C=ABAB，A,B独立。根据投篮统计数据，32(),()55PAPB.()()()PCPABPAB332255551325所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（Ⅲ）EXx.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE。又因为AB平面PDE，所以AB∥平面PDE，因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDFFG，所以AB∥FG。（Ⅱ）因为PA底面ABCDE,所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz,则(0,0,0)A,(1,0,0)B,(2,1,0)C,(0,0,2)P,(0,1,1)F,BC(1,1,0).设平面ABF的法向量为(,,)nxyz，则0,0,nABnAF即0,0.xyz令1,z，则1y。所以(0,1,1)n，设直线BC与平面ABF所成角为a,则1sincos,2nBCanBCnBC。设点H的坐标为(,,).uvw。因为点H在棱PC上，所以可设(01),PHPC，即(,,2)(2,1,2).uvw。所以2,,22uvw。因为n是平面ABF的法向量，所以0nAH，即(0,1,1)(2,,22)0。解得23，所以点H的坐标为422(,,).333。所以222424()()()2333PHzyxABCDEFGPMH（18）（共13分）解：（I）由()cossinfxxxx得'()cossincossinfxxxxxxx。因为在区间(0,)2上'()fxsin0xx，所以()fx在区间0,2上单调递减。从而()fx(0)0f。（Ⅱ）当0x时，“sinxax”等价于“sin0xax”“sinxbx”等价于“sin0xbx”。令()gxsinxcx，则'()gxcosxc，当0c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立。当1c时，因为对任意(0,)2x，'()gxcosxc0，所以()gx在区间0,2上单调递减。从而()gx(0)0g对任意(0,)2x恒成立。当01c时，存在唯一的0(0,)2x使得0'()gx0cosxc0。()gx与'()gx在区间(0,)2上的情况如下：x0(0,)x0x0(,)2x'()gx+0-()gx↗↘因为()gx在区间00,x上是增函数，所以0()(0)0gxg。进一步，“()0gx对任意(0,)2x恒成立”当且仅当()1022gc，即20c，综上所述，当且仅当2c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立；当且仅当1c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立。所以，若sinxabx对任意(0,)2x恒成立，则a最大值为2，b的最小值为1.（19）（共14分）解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy。所以224,2ab，从而2222cab。因此2,2ac。故椭圆C的离心率22cea。（Ⅱ）直线AB与圆222xy相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为00(,)xy，(,2)t，其中00x。因为OAOB，所以0OAOB，即0020txy，解得002ytx。当0xt时，202ty，代入椭圆C的方程，得2t，故直线AB的方程为2x。圆心O到直线AB的距离2d。此时直线AB与圆222xy相切。当0xt时，直线AB的方程为0022()yyxtxt，即0000(2)()20yxxtyxty，圆心0到直线AB的距离0022002(2)()xtydyxt又220024xy，002ytx故2000222000202244yxxdyxyx00420020428162xxxxx此时直线AB与圆222xy相切。（20）（共13分）解：（I）1()257TP11()1max(),24TPTP1max7,6=8（Ⅱ）2()TPmax,abdacd2(')TPmax,cdbcab.当m=a时，2(')TP=max,cdbcab=cdb因为cdbcbd，且acdcbd，所以2()TP≤2(')TP当m=d时，2(')TPmax,cdbcabcab因为abd≤cab