投标问题

投标问题摘要投标问题是新型招标运行过程中投标公司所需解决的首要问题。研究此投标报价模型的目的在于得出评标基准价，我们可以根据给出的评分标准模拟预估投标人的报价建立数学模型，通过对这个数学模型的分析讨论，得出评标基准价。求评标基准价主要应当分析所有投标人报价的分布函数。可大体推算得报价符合正态分布，且有一定的分布范围，概率不是均等，这不但与评分规则相关，也和投标人对该项目成本和利润的估算有关，由于题目中未提到第二种因素，即可确定分布函数只与评分规则相关。又因为差额保证金的存在，报价金额不会太低，整体大多数分布在90%最高限价到100%最高限价之间，有少数会低于90%最高限价，将成为废标。又因为投标报价低于或高于评标基准价时的扣分因数不同，可将分布函数调整为偏态分布函数，最高值右偏。我们需要建立一个模型分析出投标报价不同的取值和评标基准价会如何变化。需要通过MATLAB按照相关分布函数随机生成数字来完成求解。关键字：MATLABFriedman模型正态分布DevC++一·问题重述设某一政府工程的投标最高限价是P，比如P=1700万元（任何单位的报价都不能高于这个价格），并按如下规则进行投标报价：1、当投标人的投标报价低于最高限价的90％并且低于所有投标人投标报价算术平均值的85%时，报价评审组应对该报价作低于成本报价处理（即对该投标人作废标处理）。2、经评标委员会评审合格的所有投标人的投标总报价的算术平均值作为评标基准价，其价格分为满分（100分）。3、其他投标人的投标报价得分按下列原则进行计算：1）高出评标基准价的投标人的投标报价得分原则为，与评标基准价相比，报价每增加1%扣1.5分，中间值时按插入法计算得分。2）低于评标基准价的投标人的投标报价得分原则为，与评标基准价相比，报价每低于1%扣1分，中间值时按插入法计算得分。3）中间值时按插入法计算得分（注：得分计算在各有效区域内线性插值，保留两位小数）。4、为防止有单位恶意报低价扰乱投标，同时减少陪标现象，投标本工程的每个单位都需要提交差额保证金，若差额保证金如果超过一定金额C，比如C=1000万人民币，将会让绝大多数单位望而却步。这项的具体算法是差额保证金＝5×｛（投标最高限价×85％）－中标价净价（中标价减去8%的税费和代理费）｝。问题：假设有n家单位投标，你估计这个评标基准价大约是多少？请计算n=10,…,50时的基准价二·问题分析本题的目的在于算出投标人数分别为10,…,50时的评标基准价，且投标基准价为符合要求的投标价格的算术平均值。所以重点在于根据评分规则得出所有人投标价格的分布，并将不符合要求的价格刨除，得出投标基准价。根据题目可知，投标人投标价格的分布与最高限价P和评分规则有关。由于投标价格低于最高限价的90%时将作废，且有高昂的差额保证金，所以投标价格不会太低；又因为投标价格高于评标基准价时扣分系数较大，所以投标价格也不会太高，假设投标限价为题目所给1700万元，投标人报价呈正态分布。由下面的模型假设可知，每个投标人给出的报价都是相互独立的，每个投标人的报价过程同时进行，不存在相互影响。真实情况下，我们只知道报价范围，即90%最高限价P~最高限价P，并根据评分标准推算出竞争对手可能的报价，根据对手的模拟报价选择，建立一个报价与算术平均值即投标基准价的关系，得出投标基准价的值。三·模型假设1·假设投标限价为1700万元与题目相同；2·假设每个投标人报价过程是同时进行的，不存在相互影响，不会影响整个报价的公平性，即所有投标人的投标价格相互独立；3·每个投标人考虑问题的方法和最终得标的目标是相同的，但由于自身条件等各种现实情况的不同，最终报价会有所不同。4·由于差额保证金的存在，每个投标人都可以当做理性人看待，每个投标人的报价都是相对合理的，不存在胡乱报价的行为，即大多数投标报价X90%最高限价P且XP。5·假设同一工程不同报价隶属度函数模型呈正态分布；6·假设报价中心点为96%最高限价P；四·符号说明符号意义备注P最高限价Xi投标报价i=1,2,3……nX投标报价算术平均值Y评标基准价也为中标价C差额保证金K扣除分数Q最终得分五·模型建立与求解5·1模型建立设每个投标人的投标报价为Xi（i=1,2,3……n），根据题中所给基准报价的计算标准可得所有投标人投标总报价的算术平均值X=nXi，评标基准价Y=n'Xj，其中Xj为符合要求的投标报价，n’为符合要求的投标报价总数；1·如果Xi90%P且Xi85%X，则对该投标人按废标处理；2·如果XiX，扣除分数K=5.1001%100X-Xi，Q=100-K；3·如果XiX，扣除分数K=1100%100X-Xi，Q=100-K；4·差额保证金C=Y%8-1-%P855通过查阅资料可得本题目与Friedman模型[1]类似，可利用其解决问题。Friedman提出的模型被后人认为是关于竞标的最重要的理论之一.他研究的密封式投标问题是:政府机构邀请同行业内的大量公司投标争取承包合同.对获得承包合同感兴趣的各个公司必须独立提出一个报价,最低报价的公司赢得合同的承包.文献发表后引起众多学者的关注与研究.下面结合前人对Friedman模型的一些研究来介绍Friedman模型.1.1假设King和Mercer认为Friedman模型的正确性依赖于下面5个重要的假设:1•投标者的目标是使期望利润最大;2•提供充足的关于竞争者以前报价的信息;3•竞争者继续象过去那样报价且不察觉或不响应别的竞争者所做的任何变化;4•竞争者根据具有不变参数的投标模式随机报价,即每个竞争者的过去报价可看作为一个分布(不仅有固定的形状而且有不变的参数)中的随机样本;5•所有竞争者对任意合同的报价是统计独立的.1.2竞争者的个数Friedman指出竞争者的总数n与他们的意图、合同的规模等有关系.可把以前的竞争者的个数与相应的我方关于以前报价的成本估计绘成图,看二者是否有显著的关系.如果二者的关系是显著的,则我方的成本估计可用来从二者的回归方程中获得竞争者的个数.如考虑到成本较高的工程吸引较多的竞争者,那么对任何特定工程投标的竞争者的总数n与我方的成本估计C0可能是线性关系.因此,利用所有以前的竞争者的总数和我方成本估计数据可建立二者的线性回归方程,进而利用估计成本可估计竞争者的个数.Friedman认为投标者的个数k服从Poisson分布.若K是投标者的估计数,则随机变量k的概率密度函数为g(k)=Kke-K/k!(1)1.3获胜概率分两种情形讨论.1)我方确切知道哪些竞争者准备提出报价的情形设共n个竞争者参加合同的投标,则我方以报价x击败竞争者i的概率为0/X)(Cdrrfiii(2)而我方击败所有竞争者的概率(以后简称“获胜概率”)为P(x)=n1/)(0iCXdrrfriii(3)这里随机变量ri表示竞争者i的报价bi与我方成本估计C0的比率,其密度函数fri(ri)可由竞争者过去对合同承包的报价数据(即投标模式)确定.2)不确切知道有多少个竞争者准备提出报价的情形当竞争者个数未知时,Friedman引入“一般竞争者”(AverageBidder)的概念,并通过把我方报价x与一般竞争者的报价ba1比较给出获胜概率的计算公式P(x)=kaiaiCXdrrf0/))(((4)这里随机变量k为竞争者的个数;随机变量ra1表示一般竞争者的报价ba1与我方成本估计C0的比率,其密度函数f(ra1)可通过结合所有以前的对手报价与我方成本估计的比率数据确定.Friedman认为ra1通常服从Gamma分布f(ra1)=(ab+1/b!)ra1be-ara1(5)1.4期望利润根据上述讨论易知我方报价x时的期望利润为E(x)=0)(])[(0dSShSCxxP(6)若假设比率S是不依赖于最低报价x的随机变量,即P(x)独立于S,则E(x)=P(x)(x-C0E(S))(7)其中E(S)=0)(ShdSS是随机变量S的数学期望.有了前面的准备,Friedman模型可表示为:寻找最优报价x*(见图2)使E(x*)=maxE(x)=P(x)(x-C0E(S))(8)说明:1)随机变量S的概率密度函数h(S)可由承包者参与的过去的实际成本和估计成本记录确定(见图1);2)E(x)的图形见图2.1.5评述Friedman模型是最基本的模型,所需的假设条件太强.但是,这个模型非常重要,许多学者在它的基础上,提出了许多其它模型.人们对此模型的适用范围和正确性有许多争论.5·2模型求解每个投标人为了获得最高的分数都会向正项分布曲线的μ值靠拢，由评分标准可得μ=1632，通过MATLAB生成随机数功能可按正态分布随机生成投标报价数值。由于最高报价不能超过1700万元，且最低报价不能低于所有报价总数的算术平均值，经过试验可假设该正态分布方差为δ2=30。通过DevC++软件编辑计算程序（见附录二），可算得数值，即：n=10时，X=1623.26（万元），Y=1623.26（万元）；n=20时，X=1625.98（万元），Y=1625.98（万元）；n=30时，X=1643.44（万元），Y=1643.44（万元）；n=40时，X=1637.78（万元），Y=1640.58（万元）；n=50时，X=1631.13（万元），Y=1633.45（万元）。5·3模型检验模型检验分为两种，一个是模型的稳定性，即在一定程度上，改变其中参数的取值范围，与所得的结果相差不大即为稳定。一是模型的正确性，即如果建的模型的结果是正确的，便可以用另一种很简单的方法论证结果，或者与其他人研究的结果对比，从而得出自己结果的正确性。首先验证模型的稳定性，可用MATLAB再随机生成几组数据，带入编写的程序，观察与已知结果的差距。具体数据详见附录三，通过验证可得该模型较为稳定。再验证结果的正确性。由于许多其他数学建模问题的侧重点与本题不同，且评标基准价计算方法也有较小差距，此次只验证模型的稳定性。六·模型的改进与评价6·1模型的改进1·投标报价数值不但与最高限价及评分规则有关，还与项目的成本、利润，以及投标人之间的合作竞争关系有关，十分复杂，由于本题中未涉及这些方面的条件，所以只能将模型简化。2·通过投标规则可知，投标人报价应当更符合偏态分布函数，且最高点靠右，然而由于可用的MATLAB软件无法生成偏态分布随机数，所以只能用正态分布函数模拟投标人报价的分布。由以上两点可得，投标报价的推测最好考虑到差额保证金、评分标准等因素的限定，更精确地推算投标报价的分布模型。6·2模型的评价本模型综合考虑了评分规则对投标报价数值的限制，推算出投标报价的正态分布，并通过MATLAB生成随机数值，使用DevC++进行程序编译，得到了评标基准价。而且由于本模型考虑较为全面具体，可以适用于大多数情况下评标基准价的测算，具有比较高的适用性。参考文献[1]刘树林,汪寿阳,黎建强.投标与拍卖的几个数学模型,管理科学学报,1998.2附录一：使用MATLAB生成随机数的程序及结果已知90%P=1530n=10R=normrnd(1632,30,[2,5])R=1.0e+03*1.62851.60321.65481.68101.59191.64861.58301.66781.58601.5878平均值：1623.26，85%X=1379.771评标基准价：1623.26n=20R=normrnd(1632,30,[4,5])R=1.0e+03*1.63081.57971.59401.65691.62291.61351.63821.62751.63851.68641.67141.66781.58291.57471.65941.58831.60791.63251.61591.6303平均值：1625.98，85%X=1382.08评标基准价：1625.98n=30R=normrnd(1632,30,[6,5])R=1.0e+03*1.67131.64671.66621.