1.4 向量的线性关系

1.4向量的线性关系与向量的分解1.4.1.向量的线性组合1.4.2.线性相关与线性无关1.4.1向量的线性组合定义由向量12,,,naaa与实数12,,,n所组成的向量1122nnaaaa，叫做向量12,,,naaa的线性组合.当向量a是向量12,,,naaa的线性组合时，我们也说：向量a可以用向量12,,,naaa线性表示.或者说，向量a可以分解成向量12,,,naaa的线性组合.共线向量的基底定理1.4.1若向量0e，则向量r与向量e共线的充要条件是r可以用向量e线性表示，即rxe并且系数x被,er惟一确定.这时e称为共线向量的基底.证明（充分性）显然.（必要性）//,re设,rke取-.rkerke则或rxe设，rye又设，两式相减，得()0xye，0xye即，0e，.xy故（唯一性）共线向量的基底定理1.4.1若向量0e，则向量r与向量e共线的充要条件是r可以用向量e线性表示，即rxe并且系数x被,er惟一确定.这时e称为共线向量的基底.证明共面向量的基底这时12,ee叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量12,ee不共线，那么向量r与12,ee共面的充要条件是r可以用向量12,ee线性表示，或者说向量r可以分解成12,ee的线性组合，即12rxeye并且系数,xy被12,ee惟一确定.空间向量的基底这时向量123,,eee叫做空间向量的基底.定理1.4.3若向量123,,eee不共面，则空间任意向量r可以由向量123,,eee线性表示，或者说空间任意向量r可以分解成向量123,,eee的线性组合，即123rxeyeze，并且其中系数,,xyz被123,,,eeer惟一确定.ONBPAMapbbaNPONOPNAlON)(OANOlON()blbaMPOMOPMBmOMbmam)1(mlml)1()1(0101OABOA=aOB=bMNOAOBOM=λaON=μbANBMPOP=pab、别，两边点设试、线组已知三角形，其中,而分是三角形上的，且有，，与相交于，把向量分解成的例性1合.,例1(1)lalb练习：习题1.46例2证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3证,,,,,,,,321321三点重合.下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体PPPPPPEFFECDABABCD.,,,3211321关系式线性表示的，，用先求取不共面的三向量eeeAPeADeACeABABCDEFP1e1e2e3证),(211AFAEAP连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以又因AF是△ACD的中线，所以),(21)(2132eeADACAF111,22AEABe而11231().4APeee从而得例2证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分.例2证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分.ABCDE’F’P2e1e2e3证)3,2(),(41321ieeeAPi同理可得321APAPAP＝＝所以123,,.PPP从而知三点重合1.4.2线性相关与线性无关.,,,,0,,,,,,)1(2122112121关的向量叫做线性无关性相叫做线性相关.不是线个向量那么＝使得数在不全为零的，如果存个向量对于定义nnnnnaaanaaaaaannLLLL.0aa线性相关的充要条件为一个向量命题是它们线性相关.两向量共线的充要条件命题件是它们线性相关.三个向量共面的充要条命题空间任何四个向量总是命题线性相关.练习：习题1.47,9定理若1,2,…,m线性相关，证x11+x22+…+xmm+0m+1+…+0n=0.则1,2,…,m,m+1,…,n线性相关.由1,2,…,m线性相关，知存在不全为零的数x1,x2,…,xn使x11+x22+…+xmm=0.故1,2,…,n线性相关.等价命题则其任意一个部分组线性无关.若一个向量组线性无关，证明(充分性）设m,,,21L即有112211mmmLm中存在一个向量（比如）能由其余向量线性表示.向量组(当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,21L2mm,,,21L1m定理故01112211mmmL故线性相关.m,,,21L设线性相关，m,,,21L则有不全为0的数使,,,,21mkkkL.02211mmkkkL向量组(当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,21L2mm,,,21L1m定理证明(必要性）不妨设则有,01k.13132121mmkkkkkkL即能由其余向量线性表示.1等价命题：向量组线性无关的充分必要条件是其中任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示.向量组(当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,21L2mm,,,21L1m定理定理向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量必能由线性表出，且表示式是唯一.m,,,21L,,,,21mL向量组线性相关，,,,,21mL证明则有不全为0的数kkkkm,,,,21L若k=0，则(1)式变为：）（1.02211kkkkmmL使m,,,21Lm,,,21L线性相关0k11220.mmkkk定理向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量必能由线性表出，且表示式是唯一.m,,,21L,,,,21mLm,,,21L证明,)()()(2211mmkkkkkkL下证由1,2,…,m线性表出的表示式惟一：）（）（若4322112211mmmmlllkkkLLmmmlklklk)()()(0)4()3(222111L,,,,21线性无关mL,0,,0,02211mmlklklkL,,,,2211mmlklklkL所以表示式是唯一的.定理向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量必能由线性表出，且表示式是唯一.m,,,21L,,,,21mLm,,,21L证明.0,0321332211且rrr),3,2,1(irOPii例3设321,,PPP试证三点共线的充要条件是存在321,,不全为零的数使得2P3P1PO1r2r3r证明设(必要性）2331PPPP2131OPOPOP321(1)rrr.0,0321332211且rrr),3,2,1(irOPii例3设321,,PPP试证三点共线的充要条件是存在321,,不全为零的数使得2P3P1PO1r2r3r证明(充分性）只需证明1332//.PPPP1331PPrr3223PPrr1122312rrr2132112()PPrr1322112()PPrr.0,0321332211且rrr),3,2,1(irOPii例3设321,,PPP试证三点共线的充要条件是存在321,,不全为零的数使得练习：习题1.4102P3P1PO1r2r3r例4设为两不共线向量,证明向量bmamvblalu2121,共线的充要条件是.02121mmllba,不全为零与其中yxvyuxvu,0//0)()(2121bmamyblalx0)()(2211bymxlaymxl002211ymxlymxl.02121mmll证明作业：习题1.41,2,4,5,8练习对于任意取定的点组，证明：12,,nAAA（1）存在点M，使得120.nMAMAMA（2）这样的点是唯一的.（3）对于任意点O，12.nOAOAOAnOM（称M为点组的重心）12,,nAAA