1.4 次序统计量及其分布

1.4次序统计量及其分布一、次序统计量。定义设X1,X2,…,Xn是取自总体X的样本,X(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。其中X(1)=minX1,X2,…,Xn称为该样本的最小次序统计量，X(n)=maxX1,X2,…,Xn称为该样本的最大次序统计量。例设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布,分布列为x0121/31/31/3p样本X1,X2,…,Xn是独立同分布的，而次序统计量X(1),X(2),…,X(n)则既不独立，分布也不相同。现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有33=27种，下表列出了这些值，由此一二三一二三一二三000100200001101201002102202010110210011111211012112212020120220021121221022122222012(1)Xp1927727127(3)X7271927p127012这三个次序统计量的分布是不相同的。可给出的X(1),X(2),X(3)分布列如下：(2)X1327727p727012进一步,给出两个次序统计量的联合分布,如:X(1)和X(2)的联合分布列为01207/279/273/27104/273/272001/27X(1)X(2)因为P(X(1)=0,X(2)=0)=7/27，因为P(X(1)=0,X(2)=0)=7/27，二者不等，由此可看出X(1)和X(2)是不独立的。而P(X(1)=0)*P(X(2)=0)=(19/27)*(7/27)，1(1)()(1)(1)()()(,,|,,)niinnnPXxXxXxXx1(1)()(1)(1)(2)(2)()()(,,)(,,)niinnnPXxXxPXxXxXx1,!n定理1：次序统计量是充分统计量.证明：二、单个次序统计量的分布定理2设总体X的密度函数为f(x),分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn为样本,则第k个次序统计量X(k)的密度函数为1!()(())(1())()(1)!()!knkknfxFxFxfxknk1(1)():1,,()()1(min())1(1())()()(max())(())ninnniknFxPXxPXxFxFxPXxPXxFx证明时直接可得1111111(){}()(())(1())(())(1())()dkkkknknnkknknFxPxXxxCFxCFxFxxnCFxFxfxx111()(())(1())()kknkkndFxnCFxFxfxdx1!()(())(1())()(1)!()!knkknfxFxFxfxknk()12,{},,,(,],1(,],(,),knPxXxxXXXxxxkxnkxx一般地用表示中有一个落在个落在个落在的概率则1111,,()(1())()()(())()nnnkknfxnFxfxfxnFxfx当时可得()10'12(){}(())(1())!(1)(1)!()!!()(())(())(1())()(1)!()!niinikknikFxknkknkkkFxPXxCFxFxnttdtknknfxFxFxFxfxknk证法三、多个次序统计量的联合分布对任意多个次序统计量可给出其联合分布，以两个为例说明：定理3次序统计量(x(i),x(j)),(ij)的联合分布密度函数为11!(,)=[()][()()](1)!(1)!()![1()]()(),ijiijnjnpyzFyFzFyijinjFzpypzyz(1),()(1)()23(,))(1)(()())()(),(,)0nnnXXXXnnFyFxfxfyxyfxyxy定理：的联合分布密度为（连续型()(1)()(1)()1(1)()()(1)()1211{}{,}{,}(,){,}{}{}(()){}(())(()())(1)(()())(,)(,)nnnnnnnnnnniinnnxyxyXyXxXyXxXyFxyPXxXyPXyPxXXyFyPxXyFyFyFxnnFyFxFxyfxyxy证明：当时，显然成立。当时2()()0fxfy对n个次序统计量也可给出其联合分布，定理：设总体的密度函数为分布函数为F(x),为样本，则次序统计量的联合分布密度函数为X()fx(,,,)12TnXXX(1)(2)()(,,,)TnXXX!(),(,,,)121120nininnfyyyyfyyy样本中位数和样本极差•设是来自总体的样本，是次序统计量，则样本中位数定义为12(,,,)TnXXXX(1)(2)()(,,,)TnXXX1222122211,1(),2,1(),2nnnnnnXnXXXnxnxxxn为奇数为偶数它的值为为奇数为偶数()(1)1maxminmaxminniiniiRXXXXrxxxx样本极差定义为它的值为