利用导数求参数的取值范围

真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考第4讲利用导数求参数的取值范围真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考高考定位由含参函数的单调性、极值、最值求参数的取值范围是近几年高考命题的重点，试题难度较大．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考[真题感悟]1．(2014·辽宁卷)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()．A．[－5，－3]B．－6，－98C．[－6，－2]D．[－4，－3]真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考解析当x∈(0,1]时，得a≥－31x3－41x2＋1x，令t＝1x，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)·(9t－1)，显然在[1，＋∞)上，g′(t)0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立．故实数a的取值范围为[－6，－2]．答案C真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()．A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考解析由题意知a≠0，由f′(x)＝3ax2－6x＝0⇒x＝0或x＝2a.当a0时，f(x)在(－∞，0)和2a，＋∞单调递增，在0，2a单调递减．且f(0)＝10，故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A、C.当a0时，要使x00且唯一，只需f2a0，即a24，∴a－2，选B.答案B真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2m2，则m的取值范围是()．A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考解析f(x)的极值点x0满足f(x0)＝±3，则πx0m＝π2＋kπ(k∈Z)，从而得x0＝k＋12m(k∈Z)，所以不等式x20＋[f(x0)]2＜m2，即为k＋122m2＋3＜m2，变形得m21－k＋122＞3(k∈Z)，由题意，存在整数k使得不等式m21－k＋122＞3成立．当k≠－1且k≠0时，必有k＋122＞1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为34m2＞3，解得m＜－2或m＞2.答案C真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考[考点整合]1．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考2．分离参数法当参数的系数符号确定时，可以先考虑分离参数，进而求另一边函数的最值，有a＞f(x)恒成立，即a＞f(x)max，或有a＜f(x)恒成立，即a＜f(x)min.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考热点一已知函数的单调性求参数的取值范围【例1】(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．解(1)a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx(x＞0)，∴f′(x)＝2x＋1－1x＝2x－1x＋1x，x∈0，12，f′(x)＜0，x∈12，＋∞，f′(x)＞0，∴f(x)的减区间为0，12，增区间为12，＋∞.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考(2)f′(x)＝2x＋a－1x.∵f(x)在区间(0,1]上是减函数，∴f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立，即2x＋a－1x≤0对任意x∈(0,1]恒成立，∴a≤1x－2x对任意x∈(0,1]恒成立．令g(x)＝1x－2x，∴a≤g(x)min，易知g(x)在(0,1]单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考规律方法(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)0(或f′(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0[或f′(x)≤0，x∈(a，b)]恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考【训练1】(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间0，13上单调递增，求b的取值范围．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考解(1)当b＝4时，f′(x)＝－5xx＋21－2x，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞－2)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(－2,0)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈0，12时，f′(x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考(2)f′(x)＝－x[5x＋3b－2]1－2x，因为当x∈0，13时，－x1－2x0，依题意当x∈0，13时，有5x＋(3b－2)≤0，从而53＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为－∞，19.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考热点二与函数极值、最值有关的求参数范围问题[微题型1]与极值点个数有关的求参数的取值范围【例2－1】(2014·温州适应性测试改编)已知函数f(x)＝ax2－ex，a∈R.(1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－ex，则f′(x)＝2x－ex.设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex.当x＝ln2时，g′(x)＝0，当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)＞0；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＜0，f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2＜0，故f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在R上单调递减．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考(2)法一若f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根．f′(x)＝2ax－ex＝0，显然x≠0，故2a＝exx.令h(x)＝exx，则h′(x)＝x－1exx2.若x＜0，则h(x)单调递减，且h(x)＜0.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考若x＞0，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在(0,1)上递减，当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)min＝h(1)＝e.要使f(x)有两个极值点，则需满足2a＝exx在(0，＋∞)上有两个不同解，故2a＞e，即a＞e2，故a的取值范围为e2，＋∞.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考法二设g(x)＝f′(x)＝2ax－ex，则g′(x)＝2a－ex，且x1，x2是方程g(x)＝0的两个根，当a≤0时，g′(x)＜0恒成立，g(x)单调递减，方程g(x)＝0不可能有两个根；当a＞0时，由g′(x)＝0，得x＝ln2a，当x∈(－∞，ln2a)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(ln2a，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴gmax(x)＝g(ln2a)＝2aln2a－2a＞0，解得a＞e2.故a的取值范围是e2，＋∞.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考探究提高本题关键是把极值点看做是函数的导函数对应方程的根；在求范围时通常的做法就是构造相应函数，再由导数讨论单调性与极值求解．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考[微题型2]与逻辑联结词有关的求参数范围问题【例2－2】(2014·湖北八市联考改编)定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足：g(x)＋2g(－x)＝ex＋2ex－9，h(－2)＝h(0)＝1且h(－3)＝－2.(1)求g(x)和h(x)的解析式；(2)对于∀x1，x2∈[－1,1]均有h(x1)＋ax1＋5≥g(x2)－x2g(x2)成立，求a的取值范围．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考解(1)∵g(x)＋2g(－x)＝ex＋2ex－9，①g(－x)＋2g(x)＝e－x＋2e－x－9，即g(－x)＋2g(x)＝2ex＋1ex－9，②由①②联立解得：g(x)＝ex－3.∵h(x)是二次函数，且h(－2)＝h(0)＝1，可设h(x)＝ax(x＋2)＋1.由h(－3)＝－2，解得a＝－1，∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x2－2x＋1.∴g(x)＝ex－3，h(x)＝－x2－2x＋1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x2＋(a－2)x＋6，F(x)＝g(x)－xg(x)＝ex－3－x(ex－3)＝(1－x)ex＋3x－3.依题意知：当x∈[－1,1]时，φ(x)min≥F(x)max.∵F′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋3＝－xex＋3，易知F′(x)在[－1,1]上单调递减，∴F′(x)min＝F′(1)＝3－e＞0，∴F(x)在[－1,1]上单调递增，∴F(x)max＝F(1)＝0.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考∴φ－1＝7－a≥0，φ1＝a＋3≥0，解得－3≤a≤7.∴实数a的取值范围为[－3,7]．规律方法有关两个函数在各自指定的范围内的不等式的恒成立问题(这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的)，就应该通过最值进行定位，对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，等价于f(x)min≥g(x)max，列出参数所满足的条件，便可求出参数的取值范围．真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考【训练2】(2014·洛阳模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋b在x＝2处的切线方程为y＝9x－14.(1)求a，b