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3.3导数在研究函数中的应用3.3.1利用导数研究函数的单调性1.设函数y=f(x)在某个区间上的导数为f′(x),如果,那么函数y=f(x)递增,如果,那么函数y=f(x)递减.2.从导数定义看,函数的导数就是函数值关于自变量的,变化率的绝对值越大说明变得越快,绝对值越小说明变得越慢;从函数的图象看,导数是切线的,斜率的绝对值大说明切线,曲线也就陡,斜率的绝对值小说明切线较,曲线也就平缓一些.f′(x)0f′(x)0变化率斜率陡平一、预习检查思考:可导函数f(x)在(a,b)上递增(减)的充要条件是什么?提示可导函数f(x)在(a,b)上递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于零.这就是说,函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f′(x)=0.1.若f(x)在[a,b]上连续且在区间(a,b)内,f′(x)0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有().A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)=0D.不能确定解析因f(x)在(a,b)上为增函数,∴f(x)f(a)≥0.答案A预习效果检查2.函数f(x)=x+lnx的单调增区间为().A.(-∞,-1),(0,+∞)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-1,1)解析∵f′(x)=1+1x=x+1x,∴由于f′(x)0,且由f(x)的定义域:{x|x0},知x0时,f′(x)0恒成立.答案B3.函数y=x3-3x的单调递减区间是________.解析∵y′=3x2-3=3(x2-1),∴令y′0,即3(x+1)(x-1)0,解得-1x1.答案(-1,1)题型一判断或证明函数的单调性【例1】证明:函数f(x)=lnxx在区间(0,e)上是增函数.证明∵f(x)=lnxx,∴f′(x)=x·1x-lnxx2=1-lnxx2.又0xe,∴lnxlne=1.∴f′(x)=1-lnxx20,故f(x)在区间(0,e)上是单调递增函数.二、课程讲解题型二求函数的单调区间【例2】求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.解函数定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-2x=2·3x2-1x=6x-33x+33x,令f′(x)0则x33或-33x0,又∵x0,∴x33,令f′(x)0,则x-33或0x33,又∵x0,∴0x33,∴f(x)=3x2-2lnx的增区间为33,+∞,减区间为0,33.题型三已知单调性求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在区间-23,-13内是减函数,求a的取值范围.解(1)f(x)=x3+ax2+x+1,f′(x)=3x2+2ax+1,当Δ=(2a)2-3×4=4a2-12≤0,即-3≤a≤3时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)为单调递增函数,单调区间为(-∞,+∞).当Δ=(2a)2-3×4=4a2-120,即a3或a-3时,函数f′(x)存在零解,此时当x-a-a2-33时,f′(x)0,当x-a+a2-33时,f′(x)0,函数f(x)单调递增,当-a-a2-33x-a+a2-33时,f′(x)0,函数f(x)单调递减.此时函数的单调增区间为(-∞,-a-a2-33),-a+a2-33,+∞;单调递减区间为-a-a2-33,-a+a2-33.故若-3≤a≤3,f(x)在R上为增函数;若a>3或a<-3函数f(x)单调递增区间为-∞,-a-a2-33,-a+a2-33,+∞;函数f(x)单调递减区间为-a-a2-33,-a+a2-33.(2)若函数在区间-23,-13内是减函数,则说明f′(x)=3x2+2ax+1=0两根在区间-23,-13外,因此f′-23≤0,且f′-13≤0,由此可以解得a≥2.因此a的取值范围是[2,+∞).1.(1)试证明:函数f(x)=sinxx在区间π2,π上单调递减.(2)试问:若将题中区间改为(0,π),函数f(x)的单调性如何?(1)证明f′(x)=xcosx-sinxx2,又x∈π2,π,则cosx0,∴xcosx-sinx0,∴f′(x)0,∴f(x)在π2,π上是减函数.三、课堂练习(2)解f′(x)=xcosx-sinxx2,令g(x)=xcosx-sinx,则g′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,∵x∈(0,π),∴g′(x)0,故g(x)是减函数,∴g(x)g(0)=0,∴x∈(0,π)时,f′(x)0,∴f(x)=sinxx在区间(0,π)上是减函数.2.求函数f(x)=x2-2lnx的单调区间.解f′(x)=2x-2x=2x2-1x,又f(x)的定义域为{x∈R|x0},∴x,f′(x)、f(x)的取值变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+f(x)1由上表可知,函数f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数或直接由f′(x)0,得2x2-1x0,∴x2-10,x0,得x1;由f′(x)0,即x2-1x0,由x2-10,x0,解得0x1.故f(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).3.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,求实数m的取值范围.解∵f′(x)=3x2+2x+m,由于f(x)是R上的单调函数,∴f′(x)0恒成立或f′(x)0恒成立,由于30,∴只能有f′(x)0恒成立,∴Δ=4-12m0,故m13,但由于m=13时,也符合题意,故实数m的取值范围是13,+∞.误区警示因认为f(x)为增(减)函数的充要条件是f′(x)0(f′(x)0)而致误【示例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.探究:错因分析上述的解法中,把f′(x)0视为了f(x)在某区间上为增函数的充要条件,事实上f′(x)0是f(x)在某区间上为增函数的充分不必要条件.[正解一]由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.f′(x)≥0⇔t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,考虑函数g(x)=3x2-2x的图象是对称轴为x=13且开口向上的抛物线,故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,只需t≥(3x2-2x)max=3×(-1)2-2×(-1)=5,则t的取值范围是t≥5.[正解二]由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时,f(x)在(-1,1)上满足f′(x)0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是t≥5.课堂总结1.利用导数的正负,可以很好的判定函数的单调性,具体结论如下:已知函数y=f(x),(1)如对任意x∈(a,b),恒有f′(x)0,则f(x)在区间(a,b)内单调递增;(2)如对任意x∈(a,b),恒有f′(x)0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减.2.用导数求函数单调区间的步骤如下:(1)确定f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)由f′(x)0(或f′(x)0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f′(x)0时,f(x)在相应区间上是减函数.3.利用导数的正负与函数单调性的关系可以证明函数的单调性,求函数的单调区间、证明不等式、求参数的范围等.证明不等式需要构造函数.
本文标题:利用导数研究函数的单调性
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