专题2 第1课时 三角恒等变换

三角函数与平面向量专题二22sinsincos1tantancot1.cossin()sincoscossincos()coscossinsintantantan().1t12antan同角三角函数基本关系；；两角和与差的三角公式；；．．2222sin22sincoscos22cos112sincossin2tantan2.1tan23二倍角的正弦公式；；．22222222tantantan()(1tantan)1cos21cos2sincos.22sincossin(4)cossi5n.ababababab变形公式；；辅助角公式，其中．．，1tan45观察所求式不难发现两个积式在结构上与两角差的正切公式类似，因此可考虑先将“”代换为“”，再根据所得的两个三角函数积的形式，利用二倍角式可求分析：得结果．1tan30tan1201__________.1tan30tan1201例1计.算：考点1无条件求值式22cos(15)cos(15)cos30cos2_______________.AAA计.算：变式题13[1cos2(15)1cos2(15)]cos22213[2cos(230)cos(230)]cos22213(22cos2cos30)cos222331cos2cos2.212AAAAAAAAAA原式解析：1tan42cos51tan2()11AB.22C2D2例2若，是第三象限的角，则．.　　．．考点2条件求值tantan2sincossin首先可通过同角三角函数基本关系求，然后利用正切的二倍角公式求得，代入所求式即可求出结果．本题也可以从化所求式中的正切为正弦与余弦，再经过三角代换与代数变换将所求式化为关于与的表达式，而的值可通过同角三角函数基本关分析：系求得．33sintan.5422tan2tantan321tan221tan1312.1321ta21nAa已知得，所以又是第二或第四象限的角，故由，解得方法：由，从而，析故解：选4cos53sin1cos25sin211tancoscossin22221tansincossin22221cos2(cossin)21sin122.cos2cos2sin2222A由已知，是第三象限的角，得，所以，方故选法：12本题两种解法代表了解答三角函数问题的两个方向：方法主要是从变角入手，策略是观察题中的条件角与结论角之间的关系，常常采取复角与单角的互化、单角与二倍角的互化；方法是从函数的名称入手，常常采取“切化弦”、“弦化切”手段变换三角函【评析】数名称．21tan()242sincoscos__________已知，则的值为变式题.．2222221tan1tan()2tan41tan31sincos2sincoscos2sincoscos1()1tan13.122tan12133由，得，于是解析：11tan()tan()6263tan()__________.3已知，，则备选例题：()()366观察条件角与结论角易发现，由此直接利用两角差的正切公式就可顺分析：利求解．tan()tan[()()]366tan()tan()661tan()tan()6611213.11123解析：发现条件角与结论角之间的关系是快速解答本题的关键．在三角函数求值中，有时也需要将条件角表示为结论角的和差形式，这就要求在解题要灵活处理条件与结论之间【评析】的关系．1．减少函数种类：可以结合同角三角函数基本关系采取切化弦﹑弦化切及正余切函数互化或利用诱导公式进行正余函数的互化．另外还可以采用倍角公式，如cos2a=1-2sin2a，进行正余弦的互化等．2．统一为结论角(或条件角)：三角函数是以“角”为自变量的函数，因此，角的统一是解答许多三角函数问题的主要手段之一，主要是要理清题设与结论中的角之间的联系，巧妙变换，达到角的统一．3．消除结构上的差异，主要从两个方面考虑：(1)分析题中所给三角函数式与已知三角函数公式在结构上的异同点；(2)分析题中所给的几个三角函数式间的结构特点及相互间的联系与差异．找到了差异，通过适当的变换和调整，达到和谐统一，常可使问题得到快速的解决．3()tan21.(2co)s.2011a已知，，，则______________国大纲卷__　全222223()cos02coscoscoscossin1.1t5n5a因为，，所以＜解，所析：以tantan()24tan2.(20112.)xxx已知，则的值为_________苏卷___　江2tan1tan()2241tan212tan33tantan2131tan4191tan3.3tan2449xxxxxxxxx因为，所以，解得，所以以解析：，所