第2课时 双曲线方程及性质的应用

第2课时双曲线方程及性质的应用xa或xayaya或(,0)a(0,)abyxaayxbcea222()cab其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab范围对称性顶点渐近线离心率图像1.复习巩固双曲线的标准方程及其几何性质.（重点）2.了解直线和双曲线的位置关系.（重点）3.能根据双曲线的标准方程研究一些与此相关的简单应用题.（难点）探究点1由双曲线的性质求双曲线的方程.解析：方法一：双曲线x29－y216＝1的渐近线方程为y＝±43x，(1)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为ba＝43，所以b＝43a①，因为点M(－3,23)在双曲线上．所以9a2－12b2＝1②.由①，②得a2＝94，b2＝4，双曲线方程为x294－y24＝1.例3求与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点M(－3,23)的双曲线方程．1(2)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，因为ab＝43，所以b＝34a③，因为M(－3,23)在双曲线上，所以12a2－9b2＝1④.由③④所得方程组无解．综上可知双曲线方程为x294－y24＝1.方法二：设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，由于双曲线过点M(－3,23)．有λ＝(－3)29－(23)216＝14，故双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.点评：双曲线x29－y216＝1的渐近线方程是x3±y4＝0，可设出双曲线的方程，将点M的坐标代入，即可求得．本题两种方法，方法一是基本解法，要分两种情况讨论，方法二的设法是根据双曲线的标准方程与相应渐近线的关系来设的，避免了讨论．XYO种类:相切;相交(一个交点)相离;两个交点,探究点2直线与双曲线的位置关系种类XYOXYO相交:两个交点相切:一个交点相离:0个交点相交:一个交点与渐近线平行的直线位置关系与交点个数两个交点一个交点0个交点相交相切相交相离交点个数方程组解的个数提升总结：代数法求解△△=0一个交点?相切相交△0△00个交点两个交点相离相交思考1：若直线与双曲线有一个公共点，则直线与双曲线一定相切吗？提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，而此时直线与双曲线相交.思考2：若直线与双曲线相交，则交点的个数有多少个？提示：当直线与双曲线渐近线平行时，交点只有1个；当直线与双曲线的渐近线不平行时，交点有2个.（1）（2）请判断下列直线与双曲线之间的位置关系22:3,:1.916xylxc（3）224:1,:1.3916xylyxc225:1,:1.42516xylyxc相切相交相离例2.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程.解：（1）当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是P点.（2）当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k.则直线AB的方程为y-8=k（x-1），22y-8=kx-1,由得y-4x=4112212,,,,,1AxyBxyxx设则是方程的两个不等实根.1222k-4x+2kk-8x+8-k-4=02222Δ=4k8-k-4k-48-k-402所以1,8,ABP因为弦的中点是2k8-k得-=13k-422由13得k=12x1=所以直线AB的方程为y-8=0即直线AB的方程为x-2y+15所以根据中点坐标公式与根与系数的关系例3火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面.已知塔的总高度为150m,塔顶直径为70m,塔的最小直径（喉部直径）为67m,喉部标高112.5m.求双曲线的标准方程.探究点3双曲线在实际问题中的应用`AABB`C`Cxy70m67mO,如图是冷却塔的轴截面,为了要得到双曲线的标准方程,以最小直径处所在直线为x轴,直径的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系则点A坐标为(33.解：5,0).222210,0,xyabab设双曲线的方程为则a=33.5222222223537.51,33.5123.9.1.33.5123.9bbxy由已知可得点C的坐标为(35,37.5),代入双曲线方程有所以因此,所求双曲线的标准方程是APBPPPA100PB150APB60例4某工程要挖一个横截面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿着道路，运到处，，，，试问怎样运土才能最省工？(,)||||||||APBPPMxyMAAPMBBP解:设为分别沿道路与到点距离相等的点，则有|MA||MB||BP||AP|50所以，222|AB||PA||BP|2|AP||BP|cos6017500所以AB以中点为原点，建系如图：2250,217500,3750acb所以ABPMO22xyM:1(x25,y0)6253750所以所在的曲线方程APBP所以若挖出的土在曲线的左边，沿，在右边，沿，在曲线上，都一样.xy1.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是()A.(-，)B.(0，)C.(-，0)D.(-,-1)提示：可数形结合，也可联立方程转化为方程根的分布问题.153153153153153D2.过点P(1,1)与双曲线只有一个交点的直线共有_______条.4221916xy解析因双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，故设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)．当λ0时，a2＝λ3，b2＝λ，所以c2＝a2＋b2＝43λ，即焦点坐标为±2λ3，0.3．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为3x±y＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线方程．根据点到直线的距离公式有3×2λ32＝3，得λ＝9，此时双曲线方程为x23－y29＝1.当λ0时，双曲线方程可化为y2－λ－x2－λ3＝1，则a2＝－λ，b2＝－λ3，所以c2＝a2＋b2＝－43λ，故焦点坐标为0，±2－λ3.根据点到直线的距离公式有－λ3＝3，得λ＝－27，此时双曲线方程为y227－x29＝1.1.直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法，代数法中，联立方程组正确应用Δ.Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离.2.会应用双曲线的标准方程研究与之相关的简单应用题.我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到的业绩。——哥德