2.1曲线与方程优质课(上课用)

2.1曲线与方程高二数学选修2-1第二章圆锥曲线点的横坐标与纵坐标相等x-y=0第一、三象限角平分线l曲线上的点条件方程的解lxy0得出关系：（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解2.1.1曲线和方程(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是?（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上l∴说直线l的方程是0xy,又说方程0xy的直线是l.为什么?为什么?(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为?圆C平面内，到定点C(a,b)的距离等于定长r曲线条件方程得出关系：（1）圆上点的坐标都是方程的解.222)()rbyax（（2）以方程的解为坐标的点都在圆上.222)()rbyax（222)()rbyax（说圆C的方程是，又说方程222)()rbyax（的曲线是圆C.222)()rbyax（xy.C定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.f(x,y)=00xy通俗地说：无点不是解且无解不是点1.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.2.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.解释：练习：解答下列各题时，说出依据是什么？①点M1(5,0)、M2(1,5)是否在方程为x2+y2=25的曲线上？②已知方程为x2+y2=25的曲线过点M3(m,3)，求m的值。如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0例1:证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.证明：（1）设M(x0,y0)是曲线C上任一点.0xyRQM因为点M与x轴的距离为,与y轴的距离为，所以0y0x,00kyx即(x0,y0)是方程xy=±k的解.（2）设点M1(x1,y1)是方程xy=±k的解.则x1y1=±k，即.11kyx而正是点M1到纵轴，横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k,点M1是曲线的点.11,yx由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是xy=±k.无点不是解无解不是点kyx00例2:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确,应为y=±1.(3)正确.(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1(4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为;10xy-110xy-11-2210xy-11-221⑴⑵⑶不是不是是(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为;xy1练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0xy|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD①表示B②表示C③表示DC练习3:设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()2)2()3(22yxA.点P在直线上，但不在圆上B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上D.点P既不在圆上，也不在直线上练习4:已知方程的曲线经过点,则m=_____,n=______.0422nymx)1,2(),2,1(BA4545方程的曲线和曲线的方程:⑴曲线上的点的坐标都是方程的解;(纯粹性)(完备性)f(x,y)=00xy在平面上建立直角坐标系:点一一对应坐标(x,y)曲线曲线的方程坐标化研究一、二、坐标法形成解析几何迪卡尔平面解析几何研究的主要问题是：1.求曲线的方程;2.通过方程研究曲线的性质.⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上;就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条曲线的方程.问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程?运用现成的结论──直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=12又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法一:法二:若没有现成的结论怎么办──需要掌握一般性的方法解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,1.建系，设点则|MA|=|MB|2.找条件，列式子∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy∴22222121691449xxyyxxyy综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.例2.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.072yx3.化出最简式子4.查漏除杂，作答第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).√√√√√以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.xy0例3：已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.(,)xy.MlA.(0,2）解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是B课堂练习:练习1.已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y)建立坐标系设点的坐标∵点M与x轴的距离为y,22(4)FMxy∴y=22(4)xy限(找几何条件)代(把条件坐标化)∴222816yxyy∴2816xy化简这就是所求的轨迹方程.活用几何性质来找关系xy0CBAM(,)xy已知点C的坐标是（2,2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.思维漂亮!练习：方程xy1所表示的曲线是（）0xy0y0yxx(A)(B)(C)C0),(yxF（1）命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是是命题“方程所表示的曲线是C”的条件。0),(yxF思考：必要不充分（2）命题“以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”的曲线”的条件。0),(yxF是命题“曲线C是方程0),(yxF必要不充分课外练习:1.“曲线C上的点的坐标都是方程(,)fxy=0的解”是“方程(,)fxy=0是曲线C的方程”的（）条件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充要(D)既非充分也非必要2.△ABC的顶点坐标分别为(4,3)A，(2,1)B，(5,7)C，则AB边上的中线的方程为___________.C320(1)xyx≤≤5解:练习1.22yxyx的2.B3.这就是所求的轨迹方程.B3.这就是所求的轨迹方程.