微课-最终定稿--矩形的判定

矩形的判定第一节：矩形的定义和性质温故知新：1.平行四边形有哪几种判定方法？2.矩形的定义是什么？3.矩形有哪些特殊的性质？几何语言如何表达？4.直角三角形斜边上的中线有什么性质?活动：请同学们对照所提问题，小组之间一对一进行提问！(3)一组对边______且______的四边形是平行四边形。平行相等(2)两组对边_________的四边形是平行四边形。分别相等(1)两组对边________的四边形是平行四边形。分别平行(5)对角线__________的四边形是平行四边形。(4)两组对角________的四边形是平行四边形。互相平分分别相等1.平行四边形的判定:2.矩形的定义：平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形具备平行四边形所有的性质从一般到特殊有一个角是直角的平行四边形是矩形性质定理1:矩形的四个内角都是直角.性质定理2:矩形的对角线相等ABCD∵四边形ABCD是矩形3.矩形的特殊性质∴AC=BD，O∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=900几何语言几何语言O矩形具有对称性:也是轴对称图形，对称轴是过矩形对边中点的直线矩形既是中心对称图形,对称中心是矩形对角线的交点ODCBA┛2121在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。则有：AO=BD21在矩形ABCD中AO=CO=BO=DO=AC=BD4.直角三角形斜边上中线的性质一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,她们怎样才能知道所买的相框是矩形的呢?1、记住矩形的判定方法2、会灵活运用判定方法判断四边形是否为矩形3、在探索矩形的判定条件的过程中,进一步发展推理论证的能力第二节判定方法一【动脑想一想,你是最棒的!】你能用现有的知识判定一个四边形是不是矩形吗？1、根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的定义具有双重性，它既是矩形的定义，也是矩形的判定方法.我们可以利用平行四边形的定义来判定一个四边形是不是矩形.平行四边形矩形ABCD∵四边形ABCD是平行四边形∠A=90°几何语言：两(1)有一个角是直角(2)四边形是平行四边形注意：该判定的条件有个∴四边形ABCD是矩形判断下列说法是否正确？1、有一个角是直角的四边形是矩形。（）2、对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形。（）3、邻角相等的平行四边形是矩形。（）4、平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，则四边形ABCD是矩形。（）×√√√ABCDABDCM证明：∵四边形ABCD是平行四边形AB＝DC∵M是AD的中点∴AM＝DM∵MB＝MC∴△BAM≌△CDM(sss)∴∠A＝∠D∴∠A＋∠D＝1800∴∠A＝900∴四边形ABCD是矩形思路分析：已经知道了四边形是平行四边形，只需证明有一个角是直角即可.典例：已知M为平行四边形ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。求证：四边形ABCD是矩形。小丽和吴娟怎样才能知道所买的相框是矩形的呢?先测量相框两组对别是否相等，再测量一个内角是否为直角.还有其他方法吗？第三节判定方法二猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？从“角”的角度探究自主探究已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.DBCA∴四边形ABCD是矩形.：三个角是直角的四边形是矩形猜想命题判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.DBCA几何语言:∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形2.如果四边形有一个角是直角，它应该满足什么条件就是矩形呢？思考1.有四个角是直角的四边形是矩形吗？有必要这样说吗？已知：如图平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．∴∠BGC=90°。同理可证∠AFB=∠AED=90°.∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD=180°。∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC＝∠ABC，∠GCB＝∠DCB。1212∴∠GBC+∠GCB=×180°=90°．12测量三个内角是否是直角还有其它方法吗？牢记：判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.第四节判定方法三对角线相等的四边形是矩形吗?如果是，请说明理由，如果不是，请画出反例.ABCDAC=BDABCDAC=BD都不是矩形从“对角线”的角度探究自主探究O对角线相等的平行四边形是矩形吗？ABCD将AC同时匀速向两边拉长，使AC=BDOABCD现在的ABCD会是一个矩形吗？命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：在平行四边形ABCD中，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD证明:∵AB=CD,BC=BC,AC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）∵AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD∴四边形ABCD是矩形推论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形.ABCDO注意：利用对角线相等证明矩形是在平行四边形的基础上，不要忽略这一前提条件.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。随堂练习已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，△AOB是以AB为底的等腰三角形。求：∠BAD的度数解：∵△AOB是以AB为底的等腰三角形∴OA=OB∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=2OA,BD=2OB∴AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°OABCD典例：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形BCDEFGHOA证明：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BDAO=BO=CO=DO∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩形分析：根据四边形ABCD是矩形得知AO=BO=CO=DO，再根据AE=BF=CG=DH，推出OE=OF=OG=OH，证出四边形EFGH为平行四边形，再根据OE=OF=OG=OH得出EG=FH．利用对角线相等且互相平分证出四边形EFGH是矩形．她们还有什么方法?先测量相框的对边是否分别相等,再测量对角线的长是否相等;第五节：反馈练习1.具备条件____的四边形是矩形．（）A．两条对角线相等B．对角线互相垂直C．一组对角是直角D．有三个角是直角2.能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A．对角线相等B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线垂直且相等反馈检测CD一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形”乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。3.议一议：谁正确甲的门一定是矩形，理由：有三个角是直角的四边形是矩形.乙的门不一定是矩形，理由：因为对角线相等的平行四边形是矩形，而乙只说明了对角线相等，却没有说明四边形是平行四边形4.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ.求证：四边形ABCD为矩形，证明：连结OPＢＡＣＤＯＰ思路分析：连结OP，则OP是Rt△APC和Rt△BPD斜边上的中线，由此可证明四边形ABCD是矩形是矩形四边形ABCDBDACBDOPACOP21,21090,BPDAPCPDPBPCPAODOBOCOAABCD,为平行四边形四边形OP证明：连结5.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．（1）猜想线段AC和BD间的关系是______；（2）证明你的猜想．思路分析：要想准确找到AC和BD之间的关系，需先说明四边形ABCD是矩形，根据题意易证三个内角是直角；也可以先证明四边形是平行四边形，再证有一个角是直角【解析】（1）相等且互相平分(2)证明:∵MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,∠PCA的平分线∴∠BAC+∠ACB=90°∴∠ABC=90°同理∠ADC=90°∵CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线∴∠BCA+∠DCA=90°∴∠BCD=90°∴四边形ABCD是矩形∴AC、BD相等且互相平分.注意：这道题既运用了矩形的判定也运用了矩形的性质，需要大家注意融会贯通.议一议1.有一个角是直角的平行四边形2.对角线相等的平行四边形3.有三个角是直角的四边形矩形.判断矩形有哪几种方法?矩形的判定方法矩形.矩形.对于四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？任意平行在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；可见在判定矩形时，首先要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上判定，然后再根据已知条件选择合适的方法.小结拓展信心是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪滴也会折射出绚丽的色彩。希望同学们都能够信心百倍的去迎接我们生活中的每一个挑战，做数学的强者，做生活的强者！再见