2014届新课标高中数学(文)第一轮总复习第8章第47讲 圆的方程[2014高考数学]

圆的标准方程【例1】求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．【解法1】因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以此二定点为直径端点的圆，于是解方程组2x＋y＋4＝0x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得交点A(－115，25)，B(－3,2)．利用圆的直径式方程得(x＋115)(x＋3)＋(y－25)(y－2)＝0，化简整理得，(x＋135)2＋(y－65)2＝45.【解法2】令过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交点的圆系方程为：x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.r＝1241＋λ2＋4－λ2－41＋4λ＝125λ－852＋165.当λ＝85时，rmin＝25，所求方程为(x＋135)2＋(y－65)2＝45.【解法3】令动圆的方程为：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0，圆心为(－(1＋λ)，4－λ2)，代入2x＋y＋4＝0，－2(1＋λ)＋4－λ2＋4＝0，λ＝85.代入动圆的方程得x2＋y2＋265x－125y＋375＝0.法一直接求出直线与已知圆的交点，以这两个交点作为直径的端点时圆的半径最小．法二是利用圆系方程处理过直线和圆的交点的圆的方程，然后利用函数的思想求最值．法三从垂径定理的角度出发，得到圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小，此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆的半径最小，面积最小．3017yxyyx一个圆与轴相切，圆心在直线－＝上，且在直线＝上截得的【变式练弦长为2，求习】此圆的方程．22222222222().303..(3)()327|2|79721133.(3)(1)9(3)(1Oabrxyabyraxbybbyxyxbdrbbbaaxyxy设圆的圆心坐标为，，半径为因为圆心在直线－＝上，所以＝又圆与轴相切，所以＝所以所求圆的方程可设为－＋－＝因为圆在直线＝上截得的弦长为所以圆心到直线＝的距离＝＝＝解得＝或＝－，则＝或＝－所以所求圆的方程为－＋－＝或＋【＋析】＋解2)9.＝圆的一般方程【例1】已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．2222220.104160(0)0401(1)41604xyDxEyFABEFDaEFaxyDFEFaDDaa设所求圆的方程为＋＋＋＋＝因为点、在此圆上，所以＋＋＝，①＋＋＋＋＝，②又知该圆与轴直线＝相切，所以由＝，－＝，③由①、②、③消去【、可得解析】：－＋＋－＋＝，④2222145410081716.01.081716014540.aDEFaaDEFaaxyxyaxyxy由题意方程④有唯一解，当＝时，＝－，＝－，＝；当时，由＝可解得＝，这时＝－，＝－，＝综上可知，所求的值为或当＝时，圆的方程为＋－－＋＝；当＝时，圆的方程为＋－－＋＝与坐标轴相切时圆的方程求解及其参数的求解问题，方程形式选用要灵活．如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程．【变式练习2】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示的图形是一个圆．(1)当圆的面积最大时，求圆的方程；(2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数m的取值范围．2224222222222222(3)2(14)1690(3)(14)761.3167617()7713161777241316()()7497312xymxmymxmymmmrmmmmmrxy将方程＋－＋＋－＋＋＝化为－－＋＋－＝－＋＋要使圆的面积最大，需半径最大而＝－＋＋＝－－＋，它是一个一元二次函数，其图象的开口向下．因为－，所以当＝时，取得最大值此时【圆的方程为－＋＋＝当且】仅当解析＋22224246(3)2(14)?41690386004mmmmmmmmP－＋＋－＋＋即－，即时，点在圆内．与圆有关的轨迹问题12121214()23OOOOPOOPMPNMNPMPNP如图，与的半径都是，＝，过动点分别作、的切线、、分别为切点，使得＝，试建立适当的坐标系，求动点的轨【例】迹方程．1212122222122222222222(2,0)2,022112(1)()(2)12[(2)1](6)33(6)33(1230)OOOOOxOOPMPNPMPNPOPOPxyxyxyxyxyxyx以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则－，，由已知＝，得＝，因为两圆的半径均为，所以－＝－．设，，则＋＋－＝－＋－，即－＋＝，所以所求轨迹方程为－＋＝或＋－解＋析＝【】．求轨迹方程的步骤通常可以简化为(1)建系，设点；(2)列式；(3)化简．坐标系的选取决定着方程化简的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹方程，就假设那个点的坐标为(x，y)，同时，解题中还需区分轨迹方程与轨迹．【变式练习3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．【解析】如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(x2，y2)，线段MN的中点坐标为(x0－32，y0＋42)．因为平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，从而x0＝x＋3y0＝y－4，N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点：(－95，125)和(－215，285)(点P在OM所在直线上时的情况)．与圆有关的最值问题2222410.24(1)3xyxyxyxyxxy已知实数、满足方程＋－＋＝求：的最大值和最小值；－的最大值和最小值；＋的最大值【例】和最小值．2222(2)32,03()(2)3331xyyxyxxyyx原方程化为－＋＝，它表示圆心为，半径为的圆．表示圆上的点，与原点连线的斜率．过原点作圆－＋＝的切线，则两切线的斜率分别是最大值和最小值．通过画图可求得的最大值为，最小【析】值为－解22222222241022(2)10.()4(2)8(1)4(42)02626262632232(32yxmyxmxyxxmxmxymmmmmyxABOAOBxy令－＝，则将＝＋代入方程＋－＋＝，并化简，得＋－＋＋＝因为点，在圆和直线上，即上述方程有实数解，所以＝－－＋＝－－＋，解得－－－＋，所以－的最大值为－＋，最小值为－－过原点和圆心的直线与圆交于两点、，则＝＋，＝－所以＋的最大值为223)743(23)743＋＝＋，最小值为－＝－涉及到圆上的点(x，y)的最大值和最小值问题，可借助于图形，了解所求量的几何意义，用数形结合来解．有下列几类：①就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的连线的斜率；②y－x就是直线y＝x＋m在y轴上的截距；③y＋x是直线y＝－x＋m在y轴上的截距；④(x－a)2＋(y－b)2就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方．ybxa【变式练习4】求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到x－y＋2＝0的最近、最远距离．22(2)(3)4(23)2.(23)20|232|72227222722.2xyrxy由圆的方程－＋＋＝易知圆心坐标为，－，半径＝而，－到直线－＋＝的距离为＝故圆上的点到直线的最远距离为＋，最【近距离为】－解析1.点P(2，－1)是圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为______________x－y－3＝01,0121111230.OPOABkkAByxxy【解析依题意，圆心坐标为，所以直线的斜率＝－＝-由点斜式得直线的】方程为＋＝－，即－－＝22232.{2,0,1}22410,.axyaxayaa若－，方程＋＋＋＋＋－＝表示的圆的个数为_______　22222224(21)0220322101.aaaaaaaxyaxayaa由＋－＋－，得－，故满足条件的只有一个，即＝，则方程＋＋＋＋＋－＝表示的圆【】的个数为解析13.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线l：2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是______________1(]4－，2(1,2)11()241(]4Cabababab圆的圆心坐标为－，则有＋＝，所以＝，即的取值【范围是－，解析】4.如果实数x、y满足(x－2)＋y2＝3，那么yx的最大值是3.【解析】方法1：设直线l：y＝kx，则yx表示直线l的斜率，直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切时，斜率为最大或最小，所以只要求圆心到直线距离为半径即可．方法2：设圆的参数方程：x＝2＋3cosθy＝3sinθ，则yx＝3sinθ2＋3cosθ据三角知识求解．方法3：设yx＝t，则x－22＋y2＝3y＝tx只要解方程组，利用Δ＝0可得解．方法4：如图，联结圆心C与切点M，则由OM⊥CM，又Rt△OMC中，OC＝2，CM＝3，所以OM＝1，得yx＝MCOM＝3.25.()(0)1224CtttxtOAyOBOOAByxCMNOMONCR已知：以点，，为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为原点．求证：的面积为定值；设直线＝－＋与圆交于点，，若＝，求圆的方程22222221212424()()400002114||242(1)2.11222.2OABMNOCCOOCttCxtytttxyyyxxttSOAOBttOABOMONCMCNOCMNkkOCyx因为圆过原点，所以＝＋设圆的方程是－＋－＝＋令＝，得＝，＝；令＝，得＝，＝，所以＝＝＝，即的面积为定值．因为＝，＝，所以的垂直平分线段为因为＝－，所以＝，所以直线的方程是＝【解析】222122222,1512455242(21)592455242(2)(1)5.tttttCOCCyxdCyxtCOCCyxdCyxtCxy所以＝，解得：＝或＝－，当＝时，圆心的坐标为，＝，此时到直线＝－＋的距离＝，圆与直线＝－＋相交于两点．当＝－时，圆心的坐标为－，－，＝，此时到直线＝－＋的距离＝，圆与直线＝－＋不相交，所以＝－不符合题意舍去．所以圆的方程为－＋－＝1．在讨论含有字母参变量的圆方程问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先”的拓展．2．圆的标准方程和一般方程都含有三个参数，因此，要具备三个独立已知条件才能确定一个圆．求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可直接用标准形式写出圆的标准方程；若已知条件与圆心、半径关系不大，则用一般式方便．如果通过点才方便解题或问题是求与圆上的点有关的最值问题，可考虑用圆的参数方程．3．求圆的方程的方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程(当然有时也可以选择参数方程)；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F的对应的值，代入圆的标准方程或一般方程．4．在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化．圆的常用几何性质为：(1)直径所对的圆周角为直角，这样有勾股定理，斜率的乘积为－1可用；(2)弦的中点和圆心的连线垂直平分弦，这样有勾股定理、斜率的乘积为－1和弦的垂直平分线过圆心，以及圆心到弦所在直线的距离公式可用；(3)圆心和切点的连线垂直于切线，这样有圆心到切线的距离等于半径、斜率的乘积等于－1可用．