3.2.3空间向量与空间角

3.2.3空间向量与空间角OABaabb两个向量的夹角如图,已知两个非零向量,ab,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则AOB叫做向量a与b的夹角,记作:,ab.⑴范围:0,ab≤≤.⑵,,＝abba.⑶如果,2ab,则称a与b垂直,记为ab.两个向量的夹角已知空间两个非零向量,ab,则,ab叫做,ab的夹角.即cos,ababab.探究点1异面直线所成的角设直线,lm的方向向量分别为,ablamlamb若两直线所成的角为.,lm(0)2≤cosababb提示：探究点2线面角uaulasinauauu设直线的方向向量为a，平面α的法向量为，且直线与平面α所成的角π0≤θ≤为θ.2()lll提示：coscos,ABCDABCDABCDDClBA探究点3二面角1方向向量法:将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角.如图，设二面角α--β的大小为θ,其中AB⊥,ABα,CD⊥,CDβ.lll,mncos.mnmn(2)法向量法将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如图，向量n⊥α，m⊥β，则二面角α--β的大小.ll若二面角α--β的大小为θ(0≤θ≤π),则：lnm,mncos.mnmn(2)法向量法将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如图，向量n⊥α，m⊥β，则二面角α--β的大小.ll若二面角α--β的大小为θ(0≤θ≤π),则：lnm,mncos.mnmn(2)法向量法将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如图，向量n⊥α，m⊥β，则二面角α--β的大小.ll若二面角α--β的大小为θ(0≤θ≤π),则：lnm,mncos.mnmn(2)法向量法将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如图，向量n⊥α，m⊥β，则二面角α--β的大小.ll若二面角α--β的大小为θ(0≤θ≤π),则：lnm二面角的范围：[0,]1n2n2n1ncos12|cos,|nncos12|cos,|nnAOB利用向量方法求直线与平面所成角【例1】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.2方法二:𝐴𝐴1=(0,0,2a),𝐴𝐵=(0,a,0).设侧面ABB1A1的法向量n=(λ,x,y),∴n·𝐴𝐵=0且n·𝐴𝐴1=0.∴ax=0且2ay=0.∴x=y=0,故n=(λ,0,0).∵𝐴𝐶1=-32𝑎,𝑎2,2𝑎,∴cos𝐴𝐶1,n=𝑛·𝐴𝐶1|𝑛||𝐴𝐶1|=-𝜆·32𝑎|𝜆|·3𝑎=-𝜆2|𝜆|.∴sinθ=|cos𝐴𝐶1,n|=12.∴θ=30°.利用向量方法求二面角【例2】如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.解设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则M12,0,12,N12,12,0,A(1,0,0),B(0,0,0).(方法2)设平面AMN的法向量n1=(x,y,z).由于𝐴𝑀=-12,0,12,𝐴𝑁=-12,12,0,则𝑛1·𝐴𝑀=0,𝑛1·𝐴𝑁=0,即-12𝑥+12𝑧=0,-12𝑥+12𝑦=0,令x=1,解得y=1,z=1,于是n1=(1,1,1).同理可求得平面BMN的一个法向量n2=(1,-1,-1),所以cosn1,n2=𝑛1·𝑛2|𝑛1||𝑛2|=-13×3=-13,故所求两平面所成锐二面角的余弦值为13.解以B为原点,以直线BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设平面EBD的一个法向量为n1=(x,y,1),因为𝐵𝐸=(0,2,1),𝐵𝐷=(3,3,0),由𝑛1·𝐵𝐸=0,𝑛1·𝐵𝐷=0,得2𝑦+1=0,3𝑥+3𝑦=0.所以𝑥=12,𝑦=-12.于是n1=12,-12,1.又因为平面ABE的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cosn1,n2=16=66.故二面角A-BE-D的余弦值为66.