平面间的夹角

5.2平面间的夹角OEFAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角定义：作二面角。以二面角棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成二面角的的角叫作平面角.0二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是我们规定二面角大小的范围二面角的度为数，。0,0,2在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角。平面间夹角的范围：0,2uv和和设平面的法向量分别为，若两个平面的夹角为，则0,2uv1当时，uvcoscos,=此时：uvuvuv=,uv，,2uv2当时，coscos-,=cos,=此时：uvuvuvuvuv=,,uvuv和和设平面的法向量分别为，若两夹角平面的为个，则0,=,2uvuv1当时，，coscos,=此时：uvuvuv,=,,2uvuv2当时，coscos-,=cos,=此时：uvuvuvuv||cos||||uvuv综上：小结：例1、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1与平面ABCD的夹角.)1,0,0(,:22111nnnABCDABCD则和分别是的法向量平面与设平面解xzA1D1C1B1ABCDOy00),,,(1111BCnBAnzyxn则设00xzy即)0,0,1(),1,1,0(1BCBA因为A1(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),所以xzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角4,21nn此时得取),1,1,0(1n.22||||,cos212121nnnnnnxzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角则的法向量若取平面),1,1,0(111nABCD.22||||,cos212121nnnnnn43,21nnxzA1D1C1B1ABCDOy.).2,0,1(),3,2,1(12211值求两个平面夹角的余弦的法向量为平面的法向量为平面练习nn、.1470||||,coscos212121nnnnnn..1,,2,3,4,2111111的余弦值求二面角上的点是已知中在长方体练习CEDCEBABEAAADABDCBAABCD、xzA1D1C1B1ABCDOyE)2,3,4(,)0,0,3(,)0,3,0(,,,,,,:11C　E　DzyxAAADABA则有空间直角坐标系轴的正向建立轴轴为分别为原点以解则有垂直与平面设向量,),,(1DECzyxn0),2,1,1(2),2,2(zzzzzn其中xzA1D1C1B1ABCDOyEzyxzyxyxECnDEn210230331)2,3,1()0,3,3(1ECDE于是36400411220101||||cos,)2,0,0(,),2,1,1(10101101100AAnAAnCDECAAnCDEAADECnn的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取xzA1D1C1B1ABCDOyE12MNR1n2n12MNR1n2n1212,,,;2nnnn当0时1212,,,.2nnnn当时=∠MRN为两个平面二面角的平面角练习正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求的余弦值。111CBAABC11BCAB11DBCCBC平面与平面夹角CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0,,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),,0(1baB解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故),21,23(1baaAB),,0(1baBC11,ABBC2211102ABBCab22ba则可设=1，，则B(0,1,0)a22byxzCADBC1B1A1)0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴n)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴在坐标平面yoz中1CCByxzCADBC1B1A1设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m∴cos〈〉=nm,22233nmnm1122DBCCBC平面与平面夹角的余弦值为