立体几何中的翻折问题

立体几何中的翻折问题ABCDEFMN如有一只小虫要从A爬到点M，所走的最短路径是什么？ABCDEFMNABCDEFMNABCDEFMN图形的展开与翻折问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程.在历年高考中以图形的展开与折叠作为命题对象时常出现，因此，关注图形的展开与折叠问题是非常必要的.把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是翻折问题.(1)先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；(2)将不变的条件集中到立方体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立几问题.求解翻折问题的基本方法：（1）若二面角α-AC-β为直二面角，求二面角β-BC-γ的大小；（2）若二面角α-AC-β为60°，求三棱锥D′-ABC的体积.H又因为BC⊂平面β，所以BC⊥D′E，所以BC⊥α.而D′C⊂α，所以BC⊥D′C，所以∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角.由于∠D′CA=45°，所以二面角β-BC-γ的大小为45°.111332162363412D'-ABCDABCV=SD'O=ACBCD'O=aa=a分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系.规律小结：如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形（如图①）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②).(1)证明：AC⊥BO1；(2)求二面角O—AC—O1的正弦值.3(2)由(1)知,AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC.设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连接O1F,则EF是O1F在平面AOC内的射影.由线面垂直得AC⊥O1F，所以∠O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知，OA=3，OO1=，O1C=1，所以O1A==,AC==，从而O1F==.又O1E=OO1·sin30°=,所以sin∠O1FE==.3221OAOO232211OAOC1311OAOCAC23133211OEOF134