北京大学数学物理方法经典课件第二章——复变函数的积分

12学习要求与内容提要目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式。复合闭路定理与复积分的计算。3（一）积分的定义oxyab1nzkz1kz2z1zkl12l,,,,,,,,,,)(110bzzzzzanbaBlBzfwnkk===LL设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数,),,2,1(1kkknkzz上任意取一点在每个弧段L=2.1复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限)——复平面上的线积分41()lim().dnkklnkfzzfz==,)()()(111knkknkkkknzfzzfS====作和式,1这里kkkzzz=,无限增加当nl,)(,记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限zfl,有唯的取法如何的分法及如果不论对Snkoxyab1nzkz1kz2z1zkl125关于定义的说明:.d)(,)1(lzzfl记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果.),()(,)2(定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果xuzfbxaxl=注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者左侧的曲线为正6注意到：()didididdllllfzzuvxyudxvdyuxvy==积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分(二).积分的计算法,,;fzuxyvxyzxy==iddid代入积分定义有：7积分的计算法2:参数方程法设路径l的方程（参数方程）为:z=z(t)(α≤t≤β)()d[()]()dlfzzfztztt=由求导法则，dz=z’(t)dt,则有1()()knllkfzzfzz==dd(三)性质：(1)全路径上的积分等于各段上积分之和光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由其中.,,,21nllllL设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则8()();llfzzfzz=dd()(),llCfzzCfzzC=dd其中为复常数()()()();lllfzgzzfzzgzz=ddd(3)常数因子可以移到积分号外(4)函数的和的积分等于各函数积分之和(2)若l和l-是同线段但走向相反,则(5)积分不等式()()llfzzfzzdd特别地，若在l上有，l的长记为l，则性质(5)成为()dlfzzMl()fzM9例1解:采用参数方程方法y=3x/4,令x=t.直线的参数方程:,10,4,3==ttytx:(34)=+i=,lzxyit方程,d)43(dtiz=120(34)ddlzzitt=d)43(102=tti.2)43(2i=.43:,d的直线段从原点到点计算ilzzl在l上，(34)=,fzzit=xyo3,434i·10例2解积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为:2(02),ilze=πd2diiez=dlzz=π20d22iie=π20d)sin(cos4ii.0=.2:,d=zlzzl圆周为其中计算xyorizze=fzz=)2(=z因为2,ifzze==11例3解zxyor0z积分路径的参数方程为0:(02),ilzzre=π101()dnlzzz=π20)1(1dninierire,dπ20=inneri.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzlzzzln12zxyor0z,0时当=n01()dlzzz=π20di;2i=,0时当n101()dnlzzz=π20d)sin(cosninrin;0==rzznzzz0d)(110所以==.0,0,0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.13定理1：单连通区域柯西定理()d0lfzz=讨论复变函数积分值与积分路径的关系Bl(一)单连通区域柯西定理2.2柯西定理如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有14d(,)d)d)d(,(llSvxvxyyxyuuyxxy=()()0vuuuxyyy=,uvyx连续，且(,)(,)0luxyxvxyy=dd同理,uvvy连续，且0uvuuxyxx=(,)(,)0lvxyxuxyy=dd证明：()(,)(,)(,)(,)lllfzzuxyxvxyyivxyxuxyy=ddddd格林公式dd()ddlSPPyQxQyxyx=积分值的实部:由格林公式化成面积分==柯西-黎曼条件vuyyuxvx15推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有关。12()()ddllfzzfzz=10()dzzfzz=BB0z1z0z1z1l2l1l2l例1解=1.d321zzz计算积分根据柯西定理,有==1.0d321zzzxyo1r=·,1321内解析在函数zz16由于围线l所包含的面积范围内含有不属于区域的点，所以围道积分不一定为零.那么如何计算?（二）复连通域柯西定理下图表示一个由边界L和l1构成的闭二连通区域B.设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.GB()?lfzz=dlLl117ABCD1llEF作割线把原来以围线l和内边界为l1的二连通区域转化为除原来围线和内边界线以外和割线AD与DA组成的新边界的单连通区域。则由柯西定理()0,AEFADBCDAfzz=d或1()()()()0.ddddADlDAlfzzfzzfzzfzz=l与l1方向相反，但与l-1方向相同。又1()().0ddllfzzfzz=()()0,ADDAfzzfzz=dd1()(),ddllfzzfzz=1()(),ddllfzzfzz=18•此式说明,在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不经过函数的奇点.•------闭路变形原理1()(),ddllfzzfzz=ABCD1llEF19(多连通域柯西定理)设B是以1nClll=边为界的n+1闭连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑闭曲线l内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若f(z)在边界上连续，在B内解析，则有B()0dCfzz=其中C取关于区域B的正向，或写为：12()()()()ddddnllllfzzfzzfzzfzz=Bl2l3l1l20例2xyo121l2l解12,ll和围成一个圆环域圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,.0d=zzez.12,d所组成向圆周和负为正向圆周计算积分==zzzzez,上处处解析在此圆环域和其边界函数zez21例3解la1l.,,d)(11为整数的任一简单闭路为含求nazaznll,内部在曲线因为la,l:1内部含在使rl=az,)(111内处处解析为边界的复连通域在以llnaz,r故可取很小的正数xya22由复合闭路定理,11111()()ddnnllzzzaza=la1l02,zae=iπr小圆的参数方程:111()dnlzza=210()iπiidneerr=π20drninie==l.0,00,2d)(11nnizazn故xya此结论非常重要,闭曲线不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.23（五）柯西定理小结固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分1.单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲线的积分为零。2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。RRCABllSAB24思考题()()d?lfzfzz复函数的积分定义式与一元函数定积分是否一致答:[,],l若是实轴上区间()(),ddlfzzfxx=则,)(是实值的如果xf即为一元实函数的定积分.()(),().,d,,dlfzfzzfzz一般不能把起点为终点为的函数的积分记作因为这是一个线积分要受积分路线的限制必须记作25答:(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用..)(,0d)(内处处解析在而说即不能由CzfzzfC=113();22:fzzz=例在圆环域内思考题应用柯西定理应注意什么?26••2.•3.1,dzz-1(1)直线段；积分路经是计算(2)单位圆的上半；(3)单位圆的下半；1,dez求下列复变函数的围道积分zz2+5z+6|z|=12120122iicosd;()edzzzzz(1)271原函数证:利用解析函数F(z)在区域内任意一点可导的思路证明,即用导数的定义来证.BzRC2.3不定积分,内任一点为设Bz,CRBz领域内的为中心作一含于以.)()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz==即析函数同时是的原函数内的一个解必为那么函数内处处解析在单连通域如果函数)(zf0()()()limzfzzfzfzz=28BzRC,RzzzC取充分小使在内zz=)()(zFzzFzzzzzff00d)(d)(,d)(00zzfzzz到的积分路线可先取,zzz沿直线到然后从0z,)(的定义由zF0()()()lim()zFzzFzFzfzz==在Δz0的极限，积分路线与的路线相同.所以：d)(0z+Δzzfd)(0zzf29()()()zzzzzzfzzzffz==dd因为BzRCzz0z()()()FzzFzfzz则有)(d)(1zffzzzz=d)]()([1zffzzzz=()()FzzFz于是()d,zzzf=0()()()lim()zFzzFzFzfzz==30BzKzz=0z(),fzB因为在内解析(),fzB所以在内连续0,0,()zz=故记,RzC使得满足的一切都在内,z即时()(),ffz总有分析下列极限:()()()z0limFzzFzfzz0()()()lim()zFzzFzFzfzz==下面先由分析绝对号内函数的特性31)()()(zfzzFzzF1[()()]dzzzzffz=|()()|1dzzzzffz.1=zz,0)()()(lim0=zfzzFzzFz于是.()()Fzfz=即此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]()()ffz322.不定积分的定义:3.牛顿-莱布尼兹公式.)(d)(,)()()()(czFzzfzfcczFzf=记作的不定积分为为任意常数的原函数的一般表达式称.,)()(d)(,)()(,)(211221内的两点为域这里那么的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数BzzzFzFzzfzfzFBzfzz=33证根据柯西定理,[证毕]说明:有了牛顿-莱布尼兹公式,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,)(d)(1的原函数也是因为zfzzfzz,)(d)(1czFzzfzz