北京大学数学物理方法经典课件第三章——幂级数展开

1解f(ξ)=2πi(3ξ2+7ξ+1),根据柯西积分公式知,,zl当在内时2()2(371)πizfz22(371),izz()2(67),ifzz故1i,l而在内(1)2(613).iif所以1()()2()lffzzdi).1(,322ifyxl,求表示正向圆周设2371()()dlfzz3学习要求与内容提要目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数4无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3，wn，写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的确切意义是什么？为什么要研究级数？(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)常微分方程的级数解。研究级数需关心的问题：(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。53.1复数项级数(一)复数项级数1定义设{wn}(n=1,2,…)为一复数列,表达式的称为复数项级数，其中是复数。ikkkwuv2部分和000innnnkkkkkkswuv010,kkk级数前面n项的和若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)有复数极限slim()nnss即若(3.1)本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。6说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:lim.利用极限nnss1nnsw则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成若复数列{sn}(n=1,2,…,)没有极限,则称级数(3.1)为发散.71-21nnzzzs,1时由于当z,)1(11zzznzzsnnnn11limlim,11z.1时级数收敛所以当z的敛散性.0nnz分析级数例183.复数项级数收敛的条件证因为12nns()i()nnuuuvvv,nni(1)定理)(11收敛的充要条件级数nnnnnivuw.11都收敛和nnnnvu9:}{极限存在的充要条件根据ns,}{}{的极限存在和nn说明复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理).11nnnnvu都收敛和级数于是10(3)绝对收敛定义2200kkkkkwuv若收敛，则称0kkw绝对收敛注1：一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.(2)柯西判据：对于任一小的正数，必存在一N使得nN时有1121nppnnnpkkns式中p为任意正整数.注2：级数0kkv0kku0kkw绝对收敛的充分必要条件是实数项级数与都绝对收敛。1111i(1)nnn1级数是否收敛？解111;nnnun因为发散2111.nnnvn收敛所以原级数发散.例111(2)(1)ninn2级数是否收敛？2111;nnnun因为收敛3111.nnnvn收敛所以原级数收敛.注3：两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。12（二）复变函数项（简称函数项）级数：120()()()(),kkkwzwzwzwz设复变函数列wk(z)定义在区域B上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。由于函数项级数定义在区域B(或曲线l)上，所以它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线l)而言的。131.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件定义：任给ε0，存在一个与z无关的自然数N(ε)，当nN(ε)时，对B(或l)上所有z，均有：1()npkknwz(p为任意自然数)，则称在B(或l)一致收敛。一致收敛级数的性质性质1：若wk(z)在B内连续，函数级数在B内一致收敛，则和函数w(z)也是B内的连续函数。0()kkwz0000lim()lim()kkzzzzkkwzwz这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。14性质2：若级数在区域B内的分段光滑曲线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：0()kkwz00()()ddkkllkkwzzwzz性质3：若kwz在闭区域B内单值解析，且0()kkwz在B内一致收敛，则级数和0()kkwzwz也是B内的单值解析函数，wz的各阶导数可以由0()kkwz逐项求导得出，即()()0()()(,0,1,2,)nnkkwzwzzBn，而且()0()nkkwz在B内一致收敛。15绝对一致收敛对于复函数序列{()}kwz，存在正数列{}km，使对区域B内的一切z，有|()|(0,1,2,)kkwzmk，而正项级数0kkm收敛，则复函数项级数0()kkwz绝对一致收敛.20010200()()()kkkazzaazzazz这是一种特殊形式的常用函数项级数。3.2幂级数幂级数：通项为幂函数的级数:（一）定义16（二）幂级数的敛散性1.阿贝尔定理如果级数在z0点收敛，那么在以a点为圆心，为半径的圆内绝对收敛，而上一致收敛。0kkkaza0zazaaz0如果级数在z1点发散，则在内处处发散。0kkkaza1zaza由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛散性。2.求收敛圆半径R的公式绝对收敛是指收敛，后者为正项级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确00()kkkazz00()kkkazz17(1)比值判别法110100()liml(1im1)kkkkkkkkazzazzrrazzar引入收敛半径1001lim1limkkkkkkaazzzzaa即有:1001lim1:limkkkkkkaazzzzaa即有1limkkkaRa定收敛半径R。绝对收敛发散绝对收敛发散0zzR则若:级数001npkkkkknazznNzwz()(),在圆内满足时,的柯西判据,所以0zzR绝对收敛.18所以收敛半径为.R注意:幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析！10zzR,由于11101010kkkkkazzzzRazzlim.11(),npkknwz满.柯西不足判据000kkkazzzzR,故在圆外发散（2）当0zzR,时CRz0·R19(2)根式判别法发散001lim()lim1kkkkkkkrazzzzarr绝对收敛发散01limkkkzza所以01limkkkzza1limkkkRa绝对收敛0zzR对应级数绝对收敛则若:20如果:20R.(极限不存在),1R.,00,kkkazz则级数内处处敛在复平面收000,kkkazzzz则级数对内发于复平面除均散以外的一切4.复变幂级数在收敛圆内的性质那么设幂级数的收敛半径为,R00)(kkkzza是收敛圆内的解析函数。(1)0)()(kkkz0zazw它的和函数Rz0z21(2)在收敛圆内可以逐项积分,)(zw即0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw且可表为连续函数的回路积分。1201020()()()1()2diRCwzaazzazzwz22证明:记CR1上点为，CR1内任一点为z，则圆上的幂级数可写为利用柯西公式用有界函数112iz相乘后，在CR1上一致收敛1110102202010201()2()1122()12()()()R1CdiddiidiRRRCCCwzaazzzazzaazzazzwz0zz1RC201020()()()waazaz2311111201020111()()2()()01020!()2()()()!!!222()()()[][()][()]()didddiiiRRRRnCnnnCCCnnnnnwzaazaznnnzzzaazzazzwz且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导0zzC1RC证明:幂级数乘以1!12()innz201020()()()waazaz(3)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,)(zw.)()(11kkkz0zkazw即Rz0z24cosikak因为111R=limlimkkkkkkkkaeeaee所以故收敛半径.1eR0kkkz(cosi)例1求幂级数的收敛半径解12cosh(),kkkee1,e25解1244i(cosisin)因为(1i)nna1limnnnaRa例201(i)nnnz求的收敛半径.42i,e42i();nne1(2)lim(2)nnn1.226例3计算11()d,.2nlnzzlz其中为解:和函数11(),()nnwzzz111()dlIzzz所以20i01nnzz,111zz111ddclzzzz2i.27.,)(,,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf),()()()(00nnnnnnzbzazgzf00110,)(nnnnnzbababaRz5.幂级数的运算与性质在收敛半径R=min(r1,r2)内:如果当rz时,,)(0nnnzazf又设在Rz内)(zg解析且满足,)(rzg那末当Rz时,0.)]([)]([nnnzgazgf(2)幂级数的代换(复合)运算28思考00:kkkk数项级数发问如果复和均散,0()?kkk级数发吗也散思考题答案不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上z确定,可以依复数项级数敛散性讨论。思考题答案29•§3.2•3.(1)（4）(5）•4.(1)(3)303.3泰勒级数展开上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。——解析函数与幂级数的密切关系其中展开系数ak称为泰勒级数如图：设f(z)在区域Ｂ内解析，z0为Ｂ内任一点，Ｒ为z0到Ｂ区边界的最短距离，则当|z–z0|R时，f(z)可展开为泰勒级数00()()kkkfzazz(一)解析函数的泰勒展开定理0110()1()2()!dikkkCRfzfazkCR1为半径为Ｒ的圆。BCR10zz31证明：1.设f(z)在Ｂ内解析,在图示的CR1圆上应用柯西公式112()()iRCffzdz其中z为圆CR1内某一点,|z–z0|=r，CR1为包含z的圆，|ζ–z0|=R,(0rR)，ζ为CR1上的点。如图:B1RCz.内任意点R0z.CR1