第二章二次函数与幂函数.ppt精编版

§2.4二次函数与幂函数数学RA（理）第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝．②顶点式：f(x)＝．③零点式：f(x)＝．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2.幂函数(1)定义：形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较y＝xα基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理(3)幂函数的性质比较y＝xy＝x2y＝x3y＝x21y＝x－1定义域值域奇偶性且x≠0}[0，＋∞)且y≠0}[0，＋∞)[0，＋∞)奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数函数性质RRRRR{y|y∈R{x|x∈R基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理单调性增增增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0)时，减x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345B基础知识·自主学习D1或2(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑[1,2]基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一二次函数的图象和性质【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一二次函数的图象和性质对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．思维启迪解析思维升华【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一二次函数的图象和性质解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.思维启迪解析思维升华【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一二次函数的图象和性质(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.思维启迪解析思维升华∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一二次函数的图象和性质且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]x2－2x＋3，x∈[－6，0],单调递减区间是[－6,0]．思维启迪解析思维升华∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一二次函数的图象和性质(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；思维启迪解析思维升华(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析跟踪训练1(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是______________．(2)若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是____________．y＝12(x－2)2－1解析(2)∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－m4，∴－m4≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．(－∞，－3]基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的应用【例2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的应用利用f(x)的最小值为f(－1)＝0可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决．思维启迪解析思维升华【例2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的应用解(1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，且－b2a＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．思维启迪解析思维升华【例2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的应用(2)f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k1，即k的取值范围为(－∞，1)．思维启迪解析思维升华【例2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的应用有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．思维启迪解析思维升华【例2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．题型分类·深度剖析解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三幂函数的图象和性质【例3】(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xnn32(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三幂函数的图象和性质思维启迪由幂函数的定义可得n2＋2n－2＝1，再利用f(x)的单调性、对称性求n；解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.【例3】(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xnn32(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2B基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三幂函数的图象和性质(2)若(2m＋1)(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是()A.－∞，－5－12B.5－12，＋∞C．(－1,2)D.5－12，22121基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三幂函数的图象和性质(2)若(2m＋1)(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是()A.－∞，－5－12B.5－12，＋∞C．(－1,2)D.5－12，2思维启迪构造函数y＝x，利用函数单调性求m范围．212121解析因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，21解2m＋1≥0，得m≥－12；所以不等式等价于2m＋1≥0，m2＋m－1≥0，2m＋1m2＋m－1.解m2＋m－1≥0，得m≤－5－12或m≥5－12.解2m＋1m2＋m－1，得－1m2，综上5－12≤m2.D基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三幂函数的图象和性质思维升华（1）幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练3已知幂函数f(x)＝x12)(mm(m∈N*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．题型分类·深度剖析解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而m