[原创]2015年《南方新课堂・高考总复习》数学(理科) 第七章 第1讲 正弦定理和余弦定理[配套课

第七章解三角形第1讲正弦定理和余弦定理考纲要求考情风向标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，以及两个定理的实际应用等.试题一般为中低档题，客观题、解答题均有可能出现.1.正弦定理________＝________＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为以下几种形式，以解决不同的三角形问题.(1)a∶b∶c＝__________________；(2)a＝________，b＝________，c＝________；(3)sinA＝________，sinB＝________，sinC＝________.asinAbsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCa2Rb2Rc2R2.余弦定理a2＝______________________；b2＝______________________；c2＝______________________.余弦定理可以变形为：cosA＝____________________，cosB＝__________________，cosC＝__________________.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab3.三角形的面积(r是三角形内切圆半径).4.正弦定理和余弦定理的应用(1)在解三角形时，余弦定理可解决两类问题：①已知两边及夹角或两边及一边对角问题；②已知三边问题.(2)正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或角；②已知两边及一边对角，求其他边或角，其结果可能是一解、两解、无解，应注意区分.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·rA为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解(3)在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表：B1.(2013年北京)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D.1A2.在△ABC中，sinA＝13，角A的对边长为2，则外接圆半径是()A.3B.6C.2D.3解析：由asinA＝2R，得213＝2R⇒R＝3.3.(2013年湖南)在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于()D3A.π12B.π6C.π4D.π3解析：由2asinB＝3b，得2sinAsinB＝3sinB，故sinA＝32，故A＝π3或2π3.又△ABC为锐角三角形，故A＝π3.D4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B＝()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，得a2＋c2－b2ac·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，得2cosB·tanB＝3，即sinB＝32，∴角B＝π3或2π3，故选D.5.若三角形三边长如下：①3,5,7；②10,24,26；③21,25,28，其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的顺序依次为()BA.①②③C.③①②B.③②①D.②③①解析：由32＋5272，得①为钝角三角形；由102＋242＝262，得②为直角三角形；由212＋252282，得③为锐角三角形.故选B.考点1正弦定理例1：(2012年大纲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C的大小.解：由A＋B＋C＝π⇔B＝π－(A＋C)，由正弦定理及a＝2c，得sinA＝2sinC，所以cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)＋cos[π－(A＋C)]＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC＋sinAsinC＝2sinAsinC.由cos(A－C)＋cosB＝1与sinA＝2sinC，可得2sinAsinC＝1⇒4sin2C＝1.因为C为三角形的内角且a＝2cc，故0Cπ2，所以sinC＝12，故C＝π6.【方法与技巧】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定，思路也比较容易得出，先将三角函数关系式化简后，得到角A，C的关系，然后结合a＝2c，得到两角的二元一次方程组，则容易得到角C的值.【互动探究】B1.(2013年新课标Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()A.23＋2B.3＋1C.23－2D.3－1解析：bsinB＝csinC⇒212＝c22⇒c＝22，S△ABC＝12bcsinA＝12×2×22×sin105°＝22×6＋24＝3＋1.B2.(2013年山东)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A.23B.2C.2D.1解析：bsinB＝asinA⇒3sin2A＝1sinA⇒32cosA＝1，cosA＝32，A＝π6，B＝π3，C＝π2.c＝12＋32＝2.考点2余弦定理答案：C例2：(1)(2012年陕西)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.32B.22C.12D.－12解析：由余弦定理知cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－12a2＋b22ab＝a2＋b24ab≥2ab4ab＝12，故选C.与b＋c＝7联立，解得b＝4.答案：4【方法与技巧】本题考查余弦定理的应用，利用题目所给的条件列出方程组求解.(2)(2012年北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝_______.解析：在△ABC中，利用余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac＝4＋c＋bc－b4c＝4＋7c－b4c＝－14，化简，得8c－7b＋4＝0，【互动探究】3.(2013年上海)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是_____.解析：a2＋ab＋b2－c2＝0，a2＋b2－c2＝－ab，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，角C的大小是2π3.2π3考点3正弦定理与余弦定理的综合应用例3：(1)(2012年北京)在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为___________.解析：cosA＝b2＋c2－a22bc⇒c＝23，而csinC＝asinA，故sinC＝1⇒C＝π2.答案：π2(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝______.解析：由cosA＝35，cosB＝513⇒sinA＝45，sinB＝1213，由正弦定理asinA＝bsinB，得a＝bsinAsinB＝3×451213＝135.由余弦定理a2＝c2＋b2－2bccosA⇒25c2－90c＋56＝0⇒c＝145.答案：145【方法与技巧】第(1)小题主要考查的是解三角形，所用的方法并不唯一，用正弦定理或余弦定理都可以得到最后的答案.第(2)小题利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，sinB的值是本题的突破口，然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系，同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.【互动探究】4.(2013年新课标Ⅰ)如图7-1-1，在△ABC中，∠ABC＝90°，(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA的值.图7-1-1AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA的长；解：(1)由已知，得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74.故PA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知，得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理，得3sin150°＝sinαsin30°－α，化简，得3cosα＝4sinα.所以tanα＝34，即tan∠PBA＝34.易错、易混、易漏⊙对三角形中的角所受到哪些限制不清楚例题：在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法一：由正弦定理，知：a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB.又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，02A2π，02B2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.方法二：由正弦定理、余弦定理，得a2b·b2＋c2－a22bc＝b2a·a2＋c2－b22ac.∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2).∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.【失误与防范】(1)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同的方式切入：①根据余弦定理，进行角化边；②根据正弦定理，进行边化角.(2)本题也可分析式子的结构特征，式子具有明显的对称性，可判断图形为等腰三角形或直角三角形.(3)易错分析：①方法一中，由sin2A＝sin2B直接得到A＝B，其实学生忽略了2A与2B互补的情况，由于计算问题出错而结论错误；方法二中，由c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，不少同学直接得到c2＝a2＋b2，其实学生忽略了a2－b2＝0的情况，由于化简不当致误；②结论表述不规范.正确结论是△ABC为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为等腰直角三角形.