贝塞尔函数-5(定稿)

数学物理方法贝塞尔函数(BesselFunction)第五章函数函数与——准备知识分遇到下面形式的广义积在数学物理问题中，会xdexx01为自变量的函数，以的范围内，确定了一个在时它收敛，从而当0001xdexx，即函数，记为称为)()001（）（xdexx形式的广义积分函数外，还会遇到下面除了xdxxnm1101)1(确定了一个以的范围内在时它收敛，从而当,0,0)1(0,01101nmxdxxnmnm，即函数，记为称为为自变量的二元函数),(,,nmnm)0,0)1(,1101nmxdxxnmnm（）（函数的递推公式.1)()1(由定义证明)001（）（xdexx分部积分得xdexexxx010于零，所以上式右边第一项积分等)()1(01xdexxxdexx01）（)(10xedx）（)(00xdeexxx函数的对称性.2),(),(mnnm由定义证明)0,0)1(,1101nmxdxxnmnm（）（于是令,1yxydyynmnm1101)1(,）（ydyymn1101)1(）（mn,函数的关系函数与.3)()()(),(nmnmnm在证明xdexx01）（函数的另一种形式得中，令,2txtdett20122）（于是ydeyxdexnmynxm220120124)(）（积分与变量的形式无关ydxdeyxyxnm)(012120224ydxdeyxyxnm)(012120224得作极坐标变换,sin,cosyxdednmnmnm201)(22012122sincos2)(）（dddxdydS)(sincos2201212nmdnmtdett20122）（而在xdxxnmnm1101)1(,）（函数的另一种形式可得中，令,cosxdnmnm122012sincos2,）（所以)(),()(nmnmnm）（即)()()(),(nmnmnmoxy),(P),(yxP在第二章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出,当采用极坐标系以后，经过分离变量，就会出现变系数的线性常微分方程。在当时，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态，而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中，对定解问题实施分离变量，引出在§2.6中我们曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将要看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示出来，从而就引入了一类特殊的函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列的性质，在求解数学物理问题时，主要应用了它的正交完备性。§5.1贝塞尔函数的引出下面将以圆盘的瞬时温度分布为例，导出贝塞尔方程。设有半径为R的薄圆盘，其上下两个圆面绝热，若圆盘周围边缘上的温度恒保持为摄氏零度，且圆盘内的初始温度为已知，求圆盘内任意时刻（瞬时）温度分布规律。R边缘上的温度恒为零。上下两面绝热。这个问题可以归结为求下述定解问题。)3.5(.0)2.5(,,),()1.5(,0,,)(222222022222222RyxtuRyxyxutRyxyuxuatu)3.5(.0)2.5(,,),()1.5(,0,,)(222222022222222RyxtuRyxyxutRyxyuxuatu用分离变量法解这个问题，先令)(),(),,(tTyxVtyxu代入方程（5.1)，得TyVxVatTV22222TyVxVaTV22222或)0(222222VyVxVTaT的方程和由此，得到了关于函数),()(yxVtT)4.5(0)()(2tTatT)5.5(02222VyVxV)4.5(0)()(2tTatT)5.5(02222VyVxV分来实现。它的解可以用两边求积）为一阶常微分方程，（5.4)()(2tTatdtTd任意常数tdatTtTd2)()(移项之后得成这个任意常数，不妨写,lnAtaAtT2ln)(ln即taAtT2)(ln故taeAtT2)(最后得到taeAtT2)()5.5(02222VyVxV方程满足条件）方程。为了求出这个被称为亥姆霍兹（Helmholtz)5.5(）（5.60222RyxV）改写成）与条件（程（面上的极坐标系，将方的非零解，以下采用平5.65.5)7.5(,20,01122222RVVVV）（5.8,20,0RV再行分离变量，并令)()(),(PV）得，代入方程（5.70112PPPP移项后得两端乘以,2PPPPP22PPPP22于是有)9.5(0)()()10.5(0)()()()(22PPP以也必定是单值函数，所是单值函数，因此由于温度函数),(),,(yxVtyxu),2,1,0(2)(2nn样一来必定有为周期的周期函数，这应该是以）的解为由此可知（5.9（为常数）2)(00a)2,1sincos)(nnbnannn（）得代入（以5.102n)11.5(0)()()()(222PnPP阶贝塞尔方程。这个方程，被称为n)11.5(0)()()()(222PnPP考察，可知）（5.820,0RV0)(RP边缘上的温度为零！应如此！由此可得限的！特别在圆心处也由于圆盘上的温度是有)0(P所以，原定解问题)7.5(,20,01122222RVVVV）（5.8,20,0RV)11.5(0)()()()(222PnPP，0)(RP)12.5()0(P的本征值与本征函数。最后归结为求问题，0)(RP）可化为则方程（并记若令5.11,)()(,xyxPPx)11.5(0)()()()(222PnPP)13.5(0)(222ynxyxyx)12.5()0(P）下）在条件（塞尔方程（后解决，就归结为求贝因此，原定解问题的最5.125.11的本征函数和本征值。阶贝塞尔方程。）被称为方程（n5.11数。它的解被称为贝塞尔函二阶线形常微分方程，）是一个具有变系数的方程（5.13天独厚，因此形域）的物理现象时得描述具有柱形域（或圆它对于用数学的方式，柱函数。通常亦称贝塞尔函数为第二个条件是在处的第一类边界条件；）中的第一个条件是在（R5.12处的自然边界条件。0§5.2贝塞尔方程的求解程。问题，导出了贝塞尔方决圆盘的瞬时温度分布在上一节中，我们从解表示未知函数，表示自变量，以解法。按照惯例，仍以本节将讨论这个方程的yx成阶贝塞尔方程也可以写则n)13.5(0)(222ynxyxyx)13.5(0)(22222ynxxdydxxdydx的项，系数中出现了只限于实数，且方程的本书中为任意实数或复数。在其中2nnn。且假定所以在讨论时，不妨暂0n级数解）有如下形式的广义幂，方程（由微分方程解的理论知5.130()(2210kkcxaxaxaaxxy)14.5(,0,00axakckk）来确定。代入（和它的导数，可以通过把和其中常数5.13,),2,1,0(yyykack)13.5(0)(222ynxyxyx)14.5(,0,)(00axaxykckk））及其导数代入（将（5.135.1410)()(kckkxkcaxy20)()1()(kckkxkckcaxy202)()1(kckkxkckcax10)(kckkxkcax)(22nx00kckkxa220)()1(kckkxxkckca10)(kckkxxkca00kckkxa)(22nx)()1(0kckck)(kc)(22nx0kckxa上式化简后得2220)(nxkck0kckxa2220)(nxkck0kckxa上式又可以写成0)(02220kckkkckkxaxxankc上式还可以写成0)(22220kckkkckkxaxankc0)()1()(222221122022kckkkckkccxaxankcxancxanc项单列出来将上式第一项拆开，使1,0kk的系数合并kcx0)()1()(22221122022kckkkccxaankcxancxanc得到下列诸式：幂的系数全为零，从而必须各个要使上式成为恒等式，x非常关键的一步20kckkxa0k1k开始2kkckkxa220)()1()(22221122022kckkkccxaankcxancxanc0)()1(022anc0)1()2(122anc),3,2(0)()3(222kaankckk.02,1010anca）得代入（）解得，从（由于)2()4(2knkaakk）得，代入（先暂且取3nc5k0)52(5)52(53255nanaa7k0)72(7)72(75277nanaa0)32(3)32(31233nanaa34k）知：由（,01a07531aaaa综合分析结果0)21(:0)12(:11anncannc)2()4(2knkaakk表示，即都可以用而0,642,,aaaa)22(2)22(20222nanaa)42)(22(42)42(4)42(402244nnananaa)62)(42)(22(642)62(6)62(604266nnnananaa)22()62)(42)(22(2642)1(02mnnnnmaamm)()3)(2)(1(!2)1(20mnnnnmamm一般项的系数）由此可以看出，方程（5.13)13.5(0)(22222ynxxdydxxdydx有级数形式的解)14.5(,0,)(00axaxykckk的一般项为）而（5.14)()3)(2)(1(!2)1(220mnnnnmxamnm般项的系