贝塞尔函数

贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数（Besselfunctions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为“贝塞尔方程”）的标准解函数。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔方程贝塞尔方程式指在柱坐标系下分离变量得到的一种特殊类型的常微分方程。Bessel方程：上式称为以x为宗量的n阶Bessel方程。0)(22222ynxdxdyxdxydx贝塞尔方程当n为整数时，上式的通解为其中，A、B为任意实数；为n阶第一类Bessel函数；为n阶第二类Bessel函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。)()(xBYxAJynn)(xJn)(xYn贝塞尔方程当n不为整数时，例如，上式的通解可表示为如下两种形式：其中，A、B为任意实数；和分别称为阶和阶第一类Bessel函数；称为阶第二类Bessel函数。vn)()(xBJxAJyvv)()(xBYxAJyvv)(xJv)(xJvvv)(xYvv第一类贝塞尔函数整阶第一类Bessel函数的定义式为当n不为整数时，例如非整数阶Bessel函数（1）)(xJn022)1(!)1()(kknknxknkxJvn)(xJv022)1(!)1()(kknkvxkvkxJ第一类贝塞尔函数求的方法：1.先求的数值解，再用（1）式求2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。当n为正整数或零时，，整数阶Bessel函数的表达式为（2）)(xJv)1(kv)(xJv)!()1(knkn)(xJn022)!(!)1()(kknknxknkxJ第一类贝塞尔函数求的方法：1.直接用（2）式求2.整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出奇数阶Bessel函数为奇函数；偶数（包括零）阶Bessel函数为偶函数；)(xJn)(xJn第二类贝塞尔函数非整数阶第二类Bessel函数的定义式为当为整数时，例如，，此时，可以按下述公式计算整数阶第二类Bessel函数)sin()()cos()()(vxJvxJxYvvvnv)sin()()cos()(lim)(xJxJxYnn第二类贝塞尔函数其中：),3,2,1(1111)2()!(!)1(1)2(!)!1(1)5772.02ln)((2)(101020102nkkxmnmxmmnxxJxYmkmnkmnmmnmmnnn102020011)2()!()1(2)5772.02ln)((2)(mkmmmkxmxxJxY)(lim0xYnx)()1()(xYxYnnn第二类贝塞尔函数的递推公式：（注：与的递推公式完全一样！）（3）（4）（5）（6）)(xYv)(xJv)()()(211xYxYxYxvvvv)()(1xYxxYxvvvv)()(1xYxxYxvvvv)()()(211xYxYxYvvv第二类贝塞尔函数由（3）式和（6）式还可得（3）——（6）式的递推关系中，为任意实数。（1）利用和的值可以递推出任意正整数阶第二类Bessel函数的值。（2）利用和的值可以递推出任意半奇数阶第二类Bessel函数的值。)()()(1xYxvxYxYvvv第二类贝塞尔函数（与不一样！）（与不一样！）xxxJxJxJxYcos2)()2sin()()2cos()()(21212121xxxJxJxJxYsin2)()2sin()()2cos()(lim)(2121212121xxdxdxxxYnnnncos12)1()(21121xxdxdxxxYnnnsin12)(21)21()(21xJn)()21(xJn贝塞尔函数的零点（1）有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上关于原点对称分布。自然必有无穷多个正的零点。)(xJn)(xJn（2）的零点与的零点彼此相间分布。)(1xJn)(xJn贝塞尔函数的零点（3）以表示的非负零点（正的零点）（m=1，2，…),则当时,其值将无限地接近于π,即几乎是以2π为周期的周期函数。)(xJn)(nmmnmnm)()(1)(xJn贝塞尔函数的正交性在求园盘的温度分布时,是通过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程的本征值问题:上述本征方程的解为:即与这些本征值相对应的本征函数为:0)(RJn),2,1()(mRnm2)()()(Rnmnm),2,1()()()(mrRJrPnmnm贝塞尔函数的正交性在【0，R】上，带权重r正交。),2,1()()(mrRJnmn本征函数系的正交性。rdrRJrRJrnknnmRn)()()()(0.,)(2)(2,0)(212)(212kmJRJRkmnmnnmn1m)()(rRJnmn贝塞尔函数的正交性若λ和μ是两个不同的常数,可以证明而由第一式我们看到,若λ和μ是方程的任意两个不同的根(这里R,S是常数),则2210)()()()()()(nnnnnnJJJJxdxJxJx)()1()(21)(2222102nnnJnJxdxJx0)()(xJxSxJRnn贝塞尔函数的正交性0)()(10xdxJxJxnn它表明和在(0,1)是正交的.我们也可以说和是关于权函数正交的。)(xJxn)(xJxn)(xJxn)(xJxnx