1.1.1正弦定理(2)

(2)正弦定理:CcBbAasinsinsin=2R（2R为△ABC外接圆直径）正弦定理的变形：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC②sinA=,sinB=,sinC=a2Rb2Rc2R③a:b:c=sinA:sinB:sinCsinAsinB=ab④sinBsinC=bcsinAsinC=ac⑥ABab2RsinA2RsinBsinAsinB注意是在三角形当中知识回顾:⑤===bsinBcsinCasinAa+b+csinA+sinB+sinC=2Ra+bsinA+sinB=正弦定理:2sinsinsinabcRABC利用正弦定理能解决三角形中的两类问题：1．已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；2．已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．(其中R为△ABC外接圆的半径)；在上节课中，我们已经讲到已知两边和其中一边的对角时其余的边角有两解的情况，我们利用大边对大角的方法来进行判断的。除此之外还有什么方法呢？已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解的情况已知a、b、A，作三角形探究：探索发现：已知两边和其中一边对角解斜三角形CCABAbabaa1B2Ba=bsinA一解bsinAab两解CAbaabsinA无解CABbaa≥b一解作三角形归纳总结：已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解或无解三种情况CCABAbabaa1B2Ba=bsinA一解bsinAab两解CAbaabsinA无解CABbaa≥b一解aｂbsinA一解一解一解两解无解作三角形若A为锐角时:锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsin若A为直角或钝角时:锐角一解无解baba(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解例1.判断满足下列的三角形的个数:3练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、36653326或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::133自我提高！CC课时小结二.了解已知两边和其中一边的对角判断三角形的解的情况.（有一解，两解，无解）一.能用正弦定理判断三角形的形状.CcBbAasinsinsin例1.在△ABC中，若a:b:c＝3:3:5，求2sinA－sinBsinC的值．正弦定理的应用：【解】∵asinA＝bsinB＝csinC，∴sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝3:3:5.设sinA＝3x，则sinB＝3x，sinC＝5x，∴2sinA－sinBsinC＝2×3x－3x5x＝－35.变式．在△ABC中，A:B:C＝4:1:1，则a:b:c等于()A．4:1:4B．4:1:1C.2:1:1D.3:1:1D解析：由A＋B＋C＝π，A:B:C＝4:1:1，可以求出三角形的三个内角为A＝120°，B＝30°，C＝30°，再由正弦定理求出a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝sin120°:sin30:sin30°＝3:1:1.备用题三角形的面积公式111sinsinsin222ABCSabCacBbcA,,,,,42,cos.5(1)3,sin23.,.1ABCABCabcaBbAABCbc在三角形中，角所对的边分别为且若求的值；（）若三角形的面积为，求例例2.5sin25A6cb例3.在三角形A,B,C,中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足，且的面积为2.（Ⅰ）求bc的值。（Ⅱ）若，求a的值。32sinacA7233练习.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。例4.在△ABC中，若C＝3B，求cb的取值范围．【错解】由正弦定理可得cb＝sinCsinB＝sin3BsinB＝sinB＋2BsinB＝sinB·cos2B＋cosB·sin2BsinB＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.∵0≤cos2B≤1，∴－1≤4cos2B－1≤3.又b0，c0，∴0cb3.【错因分析】错解中没有考虑角B的取值范围，默认了0°B180°.【正解】由正弦定理可得cb＝sinCsinB＝sin3BsinB＝sinB＋2BsinB＝sinB·cos2B＋cosB·sin2BsinB＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又A＋B＋C＝180°，C＝3B，∴0°B45°，22cosB1.∴14cos2B－13.故1cb3.o30A,4cos5B2bABC（Ⅰ）当时，求a的值；（Ⅱ）当的面积为3时，求a+c的值。作业.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且