高等数学微积分教程第二章 导数与微分1

1.导数的概念2.初等函数的导数3.高阶导数4.函数的微分例1.瞬时速度问题0t求:质点在0tv时刻的瞬时速度tSS设有一质点作变速直线运动,其运动方程为导数的概念一.导数问题举例ttsttsvtv000ttsttsvtv0000t时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0tstts00由于速度是连续变化的,v可以近似地用平均速度0tv代替瞬时速度分析：vtstt00limlim于是当时,0t的极限即为ts0tvt越小,近似的程度越好ttsttstvt0000lim称为曲线L上点P处的切线例2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQxTxx00xy设曲线L的方程为y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQxTxx00xy曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.xxfxxfx)()(lim000即:xykx0limtan函数的增量与自变量增量之比,二.导数的定义相应地函数y取得增量yx0xx0。xxfxxfxyxx)()(limlim00001xxfxxfxyxfxx)()(limlim)('00000并称这个极限为x在点x0处的导数如果1.导数定义:设函数x在x0的某个邻域内有定义,在x0处取得增量x时,当自变量x存在,则称函数yx在x0处可导,)('0xf0'xxy0xxdxdy0xxdxdf特别的,若xyx0lim则称y=(x)在x0处的导数为无穷大。若极限(1)不存在,记为:则称y=(x)在x0处不可导。000)()(lim)('0xxxfxfxfxx若设x=x0+Δx,当Δx→0时,x→x0.可得导数的另一种定义形式2.左右导数定义设函数(x)在点x0左侧(x0–δ,x0]00)()(lim0xxxfxfxx若:00)()(lim0xxxfxfxx][或存在,则称函数(x)在点x0左(右)方可导,x0左(右)导数.记为:并称此极限值为函数(x)在点])(0'xf)(0'xf[或)(0'xf)(0'xf都存在且相等和(x)在点x0可导的充要条件是:[或右侧[x0,x0–δ)]有定义,3.x在区间上可导的定义4.导函数定义[,b]上可导。则称x在若x在（,b内可导,若x在区间（,b内每一点都可导,称它为x的导函数。若x在区间上可导,Ix都有一个导数值)('xf与之对应,即在上定义了一个新的函数,则称x在（,b内可导。)('bf)('af和且都存在,)('xf'ydxdydxdf记为：注:00.2tstv0|)()(.1'0'xxxfxf'00')]([)(xfxf分三步骤:求增量;算比值;取极限。三.求导数举例0)()(ccxfxxfy00xxy例1.求xcc为常数的导数.解:例2.求函数xxnn为正整数1'')()(nnnxxxf1'')(xxy一般地幂函数yxuu为常数的导数为同理解：（以后给出证明）axaxnnaxlim00limlim)(00'xxyxfxx0)('c在x处的导数。11221)(limnnnnnaxnaaxaaxxaxnxaf)()('xxx212121')(2111111xxxx)()()(''如：例3：求函数ysinx的导数解：hxfhxfxfh)()(lim)(0'hxhxhsin)sin(lim0xxxhhhhcos1cossin)cos(lim2220hxhhh220sin)cos(2limxxcos)(sin'xxsin)(cos'例4：求函数xx0,1的导数xaaxxx1lim0aaeaxaxlnlog1aaaxxln)('xxxeeeeln)('tax1则令解：xxfxxfyx)()(lim0'xaaxxxx0limtatxtay1011)(loglim)(logtxa1四.曲线的切线与法线1.导数的几何意义)(xfy)(0'xf0x在点处的导数在几何上表示曲线)(xfyxyαM0x))(,(00xfxM在点处的切线的斜率,tan)(0'xf即2.切线与法线方程如果函数)(xfy在点0x处可导,))(()(00'0xxxfxfy则曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的切线方程为)()(1)(00'0xxxfxfy0)(0'xf如果)(0'xf为无穷大,切线方程为0xx曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的法线方程为特殊情况00)('xf若)(0xfy则切线方程为0xx法线方程为)('0xf若法线方程为)(0xfy则切线方程为0xx例1.过点(3,0)作曲线求法线方程241xy的法线,解:设切点为2xy'200xyxx|'),(00yx则法线斜率为02x法线方程为)(2000xxxyy因(3,0)在法线上,又因切点在曲线上,由(1)(2)得:0248030xx0)122)(2(0200xxx因为0122020xx所以20x10yxy3法线方程)3(2000xxy(1)所以4200xy(2)所以五.函数的可导性与连续的关系定理：函数yx在x0处可导，由极限与无穷小的关系定理xyxfx0'lim)()('xfxy0lim0xxxxfy)(0'0])([limlim0'00xxxfyxx所以x在x0处连续注：反之不一定成立证:则x在x0处必连续；反之不一定成立。例1.证明:x|x|在x0处连续但不可导.证明:显然x|x|在x0处连续.1lim)0(0'xxfx1lim)0(0'xxfx)0()0(''ffx在x0处不可导xxxxyxf000limlim)('xyy|x|在x0处连续，但不可导。证明：显然（x）在x0处连续。323100limlimxxxxxxyx0limxxx00lim30切线存在为y轴称（x）在x0处的导数为3)(xxf例2：证明:但不可导。xy0例3:试确定常数,b之值,使函数01021xexaxbxfax)sin()(在x0处可导。解：x在x0处可导的必要条件是x在x0处连续即)0()0()0(fff2210abaxbx])sin([lim)(lim)(xffx000)1(lim)(lim)0(00axxxexff2)0(abf故当b20时,x在x0处连续又因bxxbxsinlim0xabefaxx)2(1lim)0(0'令teax1attfat)1ln(lim)0(10'故当b时,)0()0(''ff即)0('f存在解方程组abba02得1b1故当1,b1时,x在x0处可导xabaxbfx)2(2)sin1(lim)0(0'xeaxx1lim0