高等数学总复习(上)

总复习一、极限与连续1.求极限⑴无理函数的极限——有理化例1求极限112lim.211xxx解112lim211xxx11212211lim21121112xxxxxxx112112lim.42112xxxxx例2求极限22lim212.xxxx解22lim212xxxx2223lim212xxxxx2223lim1.112121xxxxxx⑵两个基本极限①0sinlim1.xxx变形:sinlim1lim0.xx②1lim1.xxex变形:lim1.xkxkex类型:lim.cxdxxbxa例3求极限222321lim.1xxxx解222321lim1xxxx2322lim11xxx222122231322lim1.1xxxxex⑷无穷小与等价无穷小基本等价无穷小当时0xsintanarcsinxxxxarctan1ln1,xxex211cos,2xx11.xx等价无穷小代换若,,则limlim.xx例4求极限30arctanlim.ln12xxxx解30arctanlimln12xxxx30arctanlim2xxxx2201111lim.66xxxL—法则例5求极限201tan1sinlim.ln1xxxxxx解201tan1sinlimln1xxxxxx201tansinlim2ln1xxxxxx011coslim2ln1xxxx201lim4ln1xxxx0121lim.14211xxxL—法则例6确定使,,abc30sinlim0.ln1xxbaxxcctdtt解由条件得:0,b从而极限为未定式.所以300sinlimln1xxaxxtdttL—法则30coslimln1xaxxx20coslim,xaxx由条件得:1,a所以300sinlimln1xxaxxtdtt201cos1lim.2xxx即:11,0,.2abc例7已知当时,0x12411sin,axxx则.a解因1224111,4axax而2sin,xxx所以4.a2.连续函数定义函数在点处连续fx0x00lim.xxfxfx等价条件函数在处连续fx0x0lim0.xy间断点的分类.设为的间断点:fx0x则为可去间断点;0x则为跳跃间断点;0x00,fxfx0limxxfx存在,第一类;其余为第二类间断点.闭区间上连续函数的性质.⑴最大值和最小值定理⑵有界性定理⑶零点定理⑷介值定理例8设函数32ln10,arcsin60,10,sin/4axaxxxxfxxexaxxxx问当为何值是,在处连续,当为何值时,afx0xa0xfx是的可去间断点.解左极限:30ln1limarcsinxaxxx30limarcsinxaxxx2023lim111xaxx2203lim11xaxx6,a右极限:201limsin/4axxexaxxx22014limaxxexaxx222.a由条件:若函数连续,即000,fff即:26622aa1,a可去间断点,即000,fff即:26226,aa2.a例9设函数在的某个邻域内有连续的二阶fx0x00,00,00,fff2123230.fxfxfxfox解由条件得:12320230lim0.xfxfxfxfx得1231.导数,且123,,,的一组使得证明有惟一对上式由罗必达法则,得123202300limxfxfxfxfx12302233lim2xfxfxfxx12304293lim.2xfxfxfx分别得到:123230,及123490.因三阶行列式:11112320,149知方程的解是唯一的.例10设,,,0,fgCabgx证明:,,ab使得.bbaafxgxdxfgxdx证令分别为函数在区间上的最小和最大值,,mMfx.bbbaaamgxdxfxgxdxMgxdx即:则有:1,bbaamfxgxdxMgxdx由介值定理知:,,ab使得,1,bbaaffxgxdxgxdx从而有:.bbaafxgxdxfgxdx二、一元函数微分学1.导数的定义及几何意义⑴导数定义00000()()()limlim.xxyfxxfxfxxx变形:若0,fxA则:000()()lim.tfxktfxkAt⑵几何意义函数在一点的导数为对应的曲线在该点的切线的斜率.切线方程:000()().yfxfxxx法线方程:0001()()yfxxxfx00.fx⑶可导与连续的关系:可导必连续.例11已知02,fx求:000(2)(3)lim.tfxtfxtt解000(2)(3)limtfxtfxtt00000(2)(3)limtfxtfxfxfxttt002310.fxfx例12设2ln1,3201,1/0,xxfxxxxxx求.fx解由函数的表达式知:函数在点处连续,而在点1x当时,1x1.fxx0x处间断.求出函数在各段的导数.当时,01x23,fxx当时,0x21.fxx在点处,1x111limlim1,.xxfxx111limlim231,.xxfxx所以,11.f由此得:211,2301,10.xxfxxxxx例13设函数在区间上有定义,且满足:fx1,12,xfxxx求0.f解由条件得00.f又:00lim,xfxfx2001limlim1,xxfxxxxx由夹逼定理得:所以01.f2.导数计算⑴导数的基本公式;⑵求导法则:()()()(),uvuxvxuxvx2()()()().()uuxvxuxvxvvx复合函数求导:设为可导函数,则,yfuugx.udyfugxfgxgxdx反函数求导:设是函数的反函数,yfxxgy则1.dydxgy隐函数求导及对数求导法:由参数方程确定的函数的导数:设,,xxtyyt则dyytdydydtdtdxdxdtdxxtdt,ft22.ftdydxxt高阶导数及高阶导数的莱伯尼茨公式:0.nnnkkknkuvCuv例14设求2cossin,xyx.y解两边取对数,得2lncoslnsin,yxx求导得:31cossin2lnsin,sinxyxxy所以:2cos2sinsin2lnsincoscot.xyxxxxx例15求由参数方程2cos,sinxtyt解由求导公式得:cos1csc,2cossin2dyttdxtt22dydx3csc11csc.22cossin4tttt所确定函数的二阶导数.例16求函数1sintanxxyxx解令12,yyy由对数求导法得:12tanlntan,sin2xxyxxx1sin2211ln1tansincos,xxxyxxxxxx所以的微分.1sin12tan,xxyxyx2tanlntansin2xxdyydxxxdxx1sin211ln1tansincos.xxxxxdxxxxx3.中值定理()0.f⑴罗尔定理设函数(),,,,fxCabfxDab,fafb则存在使得,,ab()()()().fbfafba⑵拉格朗日中值定理设函数(),,,fxCabab且(,)ab么至少存在一点使得则()()().()()()fbfafgbgag柯西定理如果函数在闭区间上连续,,fxgx,ab()0,gx,ab,ab在开区间内可导,并且在开区间内,ab那么至少存在一点使得例17设函数且0,10,1,fxCD2113013,xfefxdx证明存在使得:0,1,2.ff证由积分中值定理,存在有10,1,21111.fef令:21.xFxefx则0,10,1,FxCD且2111111.FfefF由罗尔定理,知存在使得1,1,0.F又2120,Feff即有:2.ff例18设且若极限(),,,fxCabDab0,fx2limxafxaxa存在,证明⑴在内,0,fx,ab⑵在内存在使得,ab,222;babaffxdx⑶在内存在与⑵相异的使,ab,222.bafbafxdxa证由条件极限2limxafxaxa存在及函数的连续性,得0.fa又0,fx得是单调上升的.从而fx0,.fxxab⑵令2,,xaFxxgxftdt则函数满足柯西定理条件,由定理得:,,ab使得FbFagbga22baaabaftdtftdt2,xaxxftdt即:222.babaffxdx⑶因0,ffffa在区间中使用拉格朗日中值定理,存在,a,,a,ffa再由⑵,2222;babaffafxdx使得即:222.bafbafxdxa3.罗必达法则⑴基本类型0,;0⑵变型Ⅰ0,;⑶变型Ⅱ000,1,.法则:limlim.xxfxfxgxgx例19求极限33601lim.sinxxexx解33601limsinxxexx33601limxxexx3225033lim6xxxexx330111lim.