高等数学李伟版课后习题答案第四章

习题4—1（A）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）不定积分xxfd)(是()fx的一个原函数；（2）在不定积分的运算性质中，只有加法运算和数乘运算法则而没有乘法法则，因而遇到求乘积的不定积分时，可考虑是否能将被积函数“积化和差”，从而用加法法则分别求不定积分；（3）积分运算与微分运算是互逆运算，因此对一个函数求导一次，积分一次，不论两种运算的先后顺序如何，最后的结果还是原来的函数；（4）切线的斜率同为()fx的曲线有无数条，这些曲线的方程可以写成Cxfy)(（C为任意常数）的形式，要想有唯一解，还必须另外有能确定任意常数的条件．答：（1）不正确．不定积分xxfd)(的结果是()fx的一个原函数再加一个任意常数C．（2）正确．这只是求乘积的不定积分方法之一，以后还会介绍其它方法．（3）不正确．先积分再求导，两种运算结果相互抵消，最后的结果还是原来的函数；但是，先求导再积分，两种运算结果不能相互抵消，最后的结果与原来的函数相差一个任意常数．（4）正确．这就是不定积分的几何意义．2．验证函数xy21sin、xy22cos、xy2cos213都是同一个函数的原函数，它们相互之间相差一个常数吗？解：因为xxxxy2sincossin2)(sin21，xxxxy2sin)sin(cos2)cos(22，xxxy2sin22sin21)2cos21(3，所以xy21sin、xy22cos、xy2cos213都是同一个函数x2sin的原函数．根据原函数的性质，它们彼此之间相差一个常数，其实由三角函数公式也可以得到它们彼此之间相差一个常数，事实上：11sin122yxy，2121sin123yxy．3．若Cxxxfxed)(，求函数)(xf．解：等式Cxxxfxed)(两边同时对x求导，得)e()(Cxxfxxxe)1(．4．一曲线过点)0,1(，且在任一点),(yxM处的切线斜率等于该点横坐标平方的倒数，求该曲线方程．解：设所求曲线为)(xyy，由已知有21xy，则Cxxxy1d2，再由曲线过点)0,1(，有C10，得1C，所求曲线为xy11．5．求下列不定积分：（1）xxxd)1e2(；（2）xxxd)sec211(22；（3）xxxd)sin11(2；（4）xxxxxdtan222；（5）xxxxd1331242；（6）xxd)(122；（7）)1(d22xxx；（8）xxxd)1(2；（9）xxxd11；（10）xxxd)11)(1(33；（11）xxxxxxd)e2(e；（12）xxxxxd2321．解：（1）xxxxxxxdde2d)1e2(Cxxlne2．（2）xxxxxxxdsec21dd)sec211(2222Cxxtan2arctan．（3）xxxd)sin11(2xxxxdsin1d2Cxxcosarcsin．（4）xxxxxxxxxxddsecddtan223222Cxxxtan221Cxxxtan2．（5）xxxxxxxxd31dd133122242Cxx3arctan．（6）xxxxxxxdd2dd)(14222Cxxx535132．（7）222222221ddd)1()1()1(dxxxxxxxxxxxxCxxarctan1．（8）xxxxxxxxxdd2dd)1(2321212CxxxCxxx)51321(25232222252321．（9）Cxxxxxxxxxxx2332d)1(d1)1)(1(d11Cxx)132(．（10）xxxxxxxddd)11)(1(313133Cxx34324323．（11）xxxxxxxxxxdd)e2(d)e2(e43Cxx442ln1)e2(．（12）xxxxxxxxxd)21(3d2d2321Cxx2ln23ln2．6．若函数)(xf的一个原函数为xxesin，求xxfd)(．解：因为xxesin是函数)(xf的一个原函数，根据不定积分的定义，则xxfd)(Cxxesin．习题4—1（B）1．一物体由静止开始以初速度0v沿直线运动，经过ts后其加速度tta2)(，求9s后物体离开出发点的距离是多少？这时物体运行的速度是多少？解：设时刻t时物体离开出发点的距离为)(ts，这时的速度为)(tv，由ttatv2)()(，则123322d)2()(Ctttttv，因为0t时，0vv，得01vC；所以023322)(vtttv．由)()(tvts023322vtt，则20252023154d)322()(Ctvtttvttts，因为0t时，0s，得02C，所以tvttts0252154)(．00001818)9(95819581481)9(vvvvvs，．2．求下列不定积分：（1）xxxxd)tan(secsec；（2）xxx22cossind；（3）xxd2cos22；（4）xx2cos12d；（5）xxxxdsincos2cos；（6）xxxxdsincos2cos22；（7）xxxdsin1sin；（8）)1(d24xxx；（9）xxxd113；（10）xxxd1e1e3．解：（1）xxxxxxxxxdtansecdsecd)tan(secsec2Cxxsectan．（2）xxxxxxxxxxxd)csc(seccossind)cossin(cossind22222222Cxxcottan．（3）xxxxd)cos1(d2cos22Cxxsin．（4）xxxx2cosd2cos12dCxtan．（5）xxxxxxxxxxxxd)sin(cosdsincossincosdsincos2cos22Cxxcossin．（6）xxxxxxxxxxxxd)sec(cosdsincossincosdsincos2cos22222222Cxxcottan．（7）xxxxxxxxxxxd)tansec(tandsin1)sin1(sindsin1sin22Cxxxxxxtansecd)sec1(sec2．（8）xxxxxxxxxxxxd])1(11[d)1()1()1(d224242224Cxxxxxxxarctan311d)111(3224．（9）xxxxxxxxd1)1)(1(d11333233xxxd)1(332Cxxx3/43/54353．（10）xxxd1e1e3Cxxxxxxeeln)e(d]1e)e[(222Cxxxe2e2．3．若函数)(xf满足xxxf1)(，求)(xf．解：由22)(1)(1)(xxxxxf，得221)(xxxf，所以xxxxxfxfd)1(d)()(22Cxx133．4．若函数)(xf满足216)(xxxf，求不定积分xxfd)(．解：由216)(xxxf，有12213d)16(d)()(Cxxxxxxxfxf，所以xCxxxxfd)13(d)(12213lnCxCxx．习题4—2（A）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）用凑微分法所求的不定积分，被积函数必须具备、或能化成(())()fxx的形式；（2）用凑微分法求不定积分xxfd)(时，其中xd中可以任意添加常数项或改变x的系数而成为)d(bax的形式，需要注意的是，这样变换后被积函数需乘一个常数因子1a；（3）形如2daxbxxpxq的积分，积分结果一般为对数函数与反正切函数之和．答：（1）正确．但是)(uf必须有原函数．（2）正确．因为abaxxaxx)(dd)(dd，（0a）总是成立的．（3）不正确．在很多时候结果中只有对数函数或只有反正切函数，有时也会出现有理函数．事实上：①当042qp，0a时，2daxbxxpxqCpqpxpqbpqpxpxb222242arctan424/)2/()2/(d；②当042qp，0a时，2daxbxxpxqqpxxxapbxqpxxpxa22d22d22Cpqpxpqapbqpxxa22242arctan42)ln(2；③特别，当042qp，0a，且apb2时，2daxbxxpxqCqpxxa)ln(22；④当042qp，0a时，2daxbxxpxqCpxbpxpxb22)2(d)2(22；⑤当042qp，0a时，2daxbxxpxq22)2(d)42(d)2(22pxxbapxpxpxaCpxbappxa222ln；⑥特别042qp，0a，且bap2时，2daxbxxpxqCpxa2ln；⑦当042qp，0a时，2daxbxxpxq)4/()2/(d22qppxxbCqppxqppxqpb4242ln4222；⑧当042qp，0a时，2daxbxxpxqqpxxxapbxqpxxpxa22d22d22)ln(22qpxxaCqppxqppxqpapb4242ln422222；⑨当042qp，0a，且apb2时，2daxbxxpxqCqpxxa)ln(22．2．在下列各题中的横线上填入适当数值，使得等号成立：（1）xd)21(dx；（2）sin(92)dxxd[cos(92)]x；（3）xxde2)e(d2x；（4）2d15xxd(arctan5)x；（5）xxxfd)(222d)(xxf；（6）xxfxd)(1xxfd)(．解：（1）xxd21)21(d，)21(d2dxx，填2．（2）d[cos(92)]xxxd)29sin(2，21d)29sin(xxd[cos(92)]x，填21．（3）xxxde2)e(d22，21)e(d2xxxde2，填21．（4）d(arctan5)x251d5xx，2d15xx51d(arctan5)x，填51．（5）22d)(xxfxxxfd)(22，21d)(2xxxf22d)(xxf，填21．（6）xxfxxxfd)(121d)(，2d)(1xxfxxxfd)(，填2．3．求下列不定积分：（1）3(12)dxx；（2）sin(13)dxx；（3）312dxx；（4）2d14xx；（5）2d1xxx；（6）xxxd)32cos(2；（7）xxxd)1(1)1(32；（8）xxx2sind；（9）xxxde1112；（10）xxxxd)1(lnln；（11）xxxd1arcsin22；（12）xxxd1e2cotarc；（13）xxxdcos2sin