清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-10能量原理-A

1冯西桥清华大学工程力学系2007.12.19第十章能量原理EnergyMethods2能量原理Chapter10泛函的极值与变分能量方法的一些基本概念可能功原理和功的互等定理虚功原理和余虚功原理最小势能原理和最小余能原理弹性力学变分问题的欧拉方程弹性力学变分问题的直接解法3变分与变分法AppendixB泛函极值问题函数的微分与变分复合函数的变分泛函的变分变分法泛函的极值与变分4AppendixB.1泛函极值问题求条件极值的拉格朗日乘子法12(,,,)nffxxx条件极值问题：求函数在满足条件下的极值。12(,,,)0ngxxx引入函数：111(,,,)(,,)(,,)nnnFxxfxxgxx驻值条件：0,0iiiFfgFgxxx5AppendixB.1泛函极值问题如果变量J依赖于在一定约束条件下函数关系可以任意变化的函数y(x)，此y(x)称为自变函数，而依赖于自变函数的变量称为泛函。())(yJxJ泛函()yyx泛函：函数：6AppendixB.1泛函极值问题yxO00,Axy11,Bxyyyx例1最短连线问题连接A，B两点的曲线长度L是随曲线形状，即曲线方程y=y(x)而变的，它是自变函数y(x)的泛函：1022'2(())ddd1()dBBxAAxLyxsxyyxx8AppendixB.1泛函极值问题例2悬臂梁问题悬臂梁-砝码系统的总势能是悬臂梁挠度曲线y(x)的泛函。201('')d()2lEIyxPyl可以证明，使总势能取极小值的挠度曲线就是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。(())yx9AppendixB.1泛函极值问题左端受到约束边界条件：右端是自由边界条件。在泛函中容许出现与自变函数在无约束端处的边界值y(l)有关的项，称为边界项。000;'0xxyy10AppendixB.1泛函极值问题当自变函数y(x)改变时，泛函的值也将随之改变。定义：若泛函在状态下的值，比在的邻域内任意状态y(x)下的值都小（或都大），即则称泛函在状态下取极小值（或极大值），统称取极值。()()yxyx()yx()()yxyx(())Jyx(())(())0JyxJyx(())(())0JyxJyx或(())Jyx()yx11AppendixB.2函数的微分和变分微分：d'()dyyxx函数的微分和变分变分：()()()yxyxxδ()()()()yxyxyxx14AppendixB.2函数的微分和变分函数y(x)的一阶导数仍是自变量x的函数。于是的变分为'()yx'()yxδ''()'()yyxyxδ()()()()yxyxyxxδ''()'()'()δ'yyxyxxynnyyyy=LL15AppendixB.2函数的微分和变分复合函数复合函数的变分微分：()1(,,,,)nFxyyy()()dddd'd'nnFFFFFxyyyxyyy17AppendixB.2函数的微分和变分复合函数的变分微分：()()dddd'd'nnFFFFFxyyyxyyy()()dδ0;dδ;d'δ';dδnnxxyyyyyy()()δδ'δ'nnFFFFyyyyyy变分：18AppendixB.3复合函数的变分2(-1)δδ(δ);;δδ(δ)kkFFFF()()δδδ'δ'kknnFyyyFyyy()()δδ'δ'nnFFFFyyyyyy又∵∴高阶变分：19AppendixB.3复合函数的变分由于变分y可以独立选择，与自变量y及其各阶导数无关，所以变分y（及其各阶导数）对自变量y（及其各阶导数的偏导数均为零，即()()()()(δ)(δ)0(,0,1,2,,)mmllyylmnyy()δ0(2,0,1,2,,)kmykmn作为自变函数的增量，y（及其各阶导数）的高阶变分均为零，即20AppendixB.4泛函的变分()(,,',,)dbnaJFxyyyx泛函和复合函数的区别是：复合函数依赖于自变量x，而泛函则依赖于自变函数y(x)。当x给定后，立即能算出复合函数F的一个相应值，但算不出泛函J的值来，因为J和定义域内的所有（而不是一个）x处的函数值F有关。泛函的变分()(,,',,)nFFxyyy21AppendixB.4泛函的变分泛函J的各阶变分：由变分y引起的泛函J的增量为：()(,,',,)dbnaJFxyyyxδδdbkkaJFx211δdδδδ2!!bkaJFxJJJk22AppendixB.5变分法变分法的基本问题：在满足约束条件的容许函数中，求能使泛函J(y(x))取极值的自变函数，若其中；y(x)为邻域内的任意容许函数。xy00JJ为极小值为极大值()JJyxJxy=xy23AppendixB.5变分法泛函极值的必要条件（驻值条件）为泛函的一阶变分为零，即δ0J泛函的极值的充分条件还需考虑二阶变分，即若，则还需看高阶变分的性质。220δ00JJJ为极小值为极大值20J24AppendixB.5变分法变分法的基本预备定理设(x)是闭区间上的连续函数，y是该区间上自变函数y(x)的变分，如果y在满足约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立则被积函数(x)在区间上处处为零，即()0xaxbaxb()δd0baxyx25一元自变函数的泛函驻值问题在域内y(x)应具有直到四阶的连续导数。在x=a处为约束边界，指定：在x=b处为自由边界。AppendixB.6欧拉方程和自然边界条件(())(,,','')d()baJyxFxyyyxQyb();'()'aayayyay26AppendixB.6欧拉方程和自然边界条件根据两端的边界条件，变分y的边界值应满足：泛函的驻值条件为：δ()0;δ'()0yayaδ()0;δ'()0ybyb(())(,,','')d()baJyxFxyyyxQybδ0J'''δδ(,,','')dδ()δδ'δ''dδ()babyyyaJFxyyyxQybFyFyFyxQyb27AppendixB.6欧拉方程和自然边界条件'''2'''''2'''''δ[]δ()ddd+dddδ()[]δ'()d[[]δ()[]δ'()0]ddyyybbabyyayyayyJyxxybybFFyaFyaxFFFxxFFQFx自然边界条件2'''2dd+=0ddyyyFFFxx'()''()''()d0d0ybybybFFQxF欧拉微分方程28AppendixB.6欧拉方程和自然边界条件若令则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为即为材料力学中梁的挠度微分方程。(())(,,','')d()baJyxFxyyyxQyb21();;0,2FEIyQPabl4()0EIyl22d0dyFx即29AppendixB.6欧拉方程和自然边界条件自然边界条件成：这就是自由端处剪力和弯矩的力边界条件。此外，基本边界条件就是固支端的位移边界条件：这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度曲线。''d0dyFPx'''()0EIylP''()0yFl''()0EIyl()0ya'()0ya30能量原理Chapter10泛函的极值与变分变分提法的基本概念和术语可能功原理，功的互等定理虚功原理和余虚功原理最小势能原理和最小余能原理弹性力学变分问题的欧拉方程弹性力学变分问题的直接解法31基本概念和术语Chapter10.1变分方法（能量法）：考虑整个系统的能量关系，建立泛函变分方程在给定约束条件下，求泛函极值的变分问题弹性力学的微分提法和变分提法微分方法：从微元入手，建立基本微分方程在给定边界条件下求解微分方程的边值问题32基本概念和术语Chapter10.1变分问题的两种解法欧拉法：将变分方程转化为微分方程（称为欧拉方程）进行求解。直接法：直接求解变分方程。33基本概念和术语Chapter10.1真实状态与可能状态弹性力学的三类基本关系a)变形关系：几何方程和位移边界条件b)静力关系：包括平衡方程和力边界条件。在静力关系中只出现力学量，而与几何量无关。c)本构关系：把力学量和几何量联系起来。34基本概念和术语Chapter10.1以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基本关系的真实状态。本章则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的可能状态，然后再从可能状态中寻找满足全部基本关系的真实状态。35基本概念和术语Chapter10.1能量原理中的可能状态：①变形可能状态或运动可能状态：满足变形关系，而不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状态。用右上角加(k)来表示。描述变形可能状态的基本量是变形可能位移和变形可能应变。kiukij36基本概念和术语Chapter10.1经典能量原理中的可能状态有两类：可能位移：应连续，且满足给定的位移边界条件；可能应变：和可能位移应满足几何方程。变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是真实变形状态。真实变形状态是由物体所受载荷引起的，变形可能状态则与给定载荷没有必然的因果关系。37基本概念和术语Chapter10.1虚位移：从某一可能位移到相邻的另一可能位移的微小位移变化，记作kiu38基本概念和术语Chapter10.1②静力可能状态：满足静力关系（平衡方程和给定的力边界条件），而不管它是否满足变形关系和本构关系的任何平衡状态。用右上角加(s)的符号表示，如静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是真实状态。虚应力：可能应力场的变分sijsij41基本概念和术语Chapter10.1变形功、可能功与虚功广义力：某个按同一比例加载的力系（如：弯矩、扭矩）广义位移：与所作用的广义力求内积等于功的几何量（如：转角、扭角）diiAFu42基本概念和术语Chapter10.1变形功：载荷在其本身所引起的物体准静态弹性变形上所做的功。线弹性情况：可能功和虚功：载荷在任何运动可能位移（或虚位移）上所做的功。11d22iiiiiiAKuuKuuFuiiAFuiiAFu43载荷P在其本身所引起的挠度w上所做的变形功为：假设梁产生一个变形可能位移，在A点出的挠度值为，则载荷P在可能挠度上所做的可能功为：w基本概念和术语Chapter10.112APwAPwwpA44基本概念和术语Chapter10.1弹性应变能和弹性应变余能U和Uc分别是物体应变场和应力场的单值泛函，与变形历史无关。00(())d,()d(())d,()dijijijkijijijVccijkcijijijVUWxVWUWxVW45基本概念和术语Chapter10.1真实状态的W和Wc满足如下互余关系应力应变关系：线弹性体：cijijWW;cijijijijWW12ijijijcijWW46总势能定义为：弹性体的应变能和载荷系统的外力势之和，即基本概念和术语Chapter10.1UV弹性系统的势能50基本概念和术语Chapter10.1ddiiiiVsVfuVpuS(dd)dijVisViiifWUVuVpuVS应变能体力势面力势外力势51总余势能定义为：弹性体的应变余能和支承